Вторая задача К. Э. Циолковского
Допустим, что тoчка переменной массы движется по вертикали вверх в однородном поле силы тяжести. Требуется определить закон движения этой точки, г. е. закон изменения скорости и расстояния (высоты) точки переменной массы в функции времени при различных законах изменения ее массы.
Относительная скорость υr отбрасываемых частиц принимается постоянной по величине и направленной по вертикали вниз.
Примем прямую, по которой движется точка переменной массы, за ось OS (рис. 139).
Проектируя уравнение (111.311) на ось 08 и принимая во внимание, что F=m (t)g, получим
или
Интегрируя это уравнение при начальных условиях t = О,
υ = О и m (0) = m0, получим
В конце периода отбрасывания, т. е. при t =tk масса точки переменной массы будет m = mk, а скорость ее
Из сопоставления формул (111.313) и (111.314) видим, что часть отбрасываемой массы в (111.314) должна быть израсходована на «покрытие» скорости gtk, вызванной однородным полем силы тяготения, следовательно, для сообщения заданной величины скорости υk точки переменной массы необходимо отбросить из нее большее количество массы mr (m0 = mk +mr).
Для того, чтобы точка переменной массы начала двигаться вертикально вверх, очевидно, необходимо, чтобы
Φ - F≥0,
т. е.
mg + υrm = 0.
Знак равенства соответствует предельному положению равновесия точки переменной массы. Интегрируя это уравнение в случае равновесия при условии, что m (0) = m0, получим
или
Следовательно, если процесс отбрасывания частиц точки переменной массы будет происходить по закону (111.315), то эта точка будет находиться в покое. Для того чтобы она смогла двигаться вверх, необходимо, чтобы процесс отбрасывания частиц был более интенсивным, чем это дается законом (111.315).
Рассмотрим процесс отбрасывания частиц по закону
где n — положительное число больше единицы. При m (t) в (111.316) величина реактивной силы Ф будет
Ф = — υrm =
Ускорение точки переменной массы, вызванное реактивной силой Ф,
будет
Отсюда видим, что величина
характеризует так называемую перегрузку, вызванную реактивной силой Ф.
Чтобы найти закон изменения расстояния, т. е. функцию s (t), необходимо задать закон изменения массы m (t).
Допустим, что масса точки изменяется по закону, который выражается уравнением (111.316). Таким образом, из (111.316), получим
υ= s = (n — 1) gt.
Интегрируя это уравнение и учитывая начальные условия (при t = О s = 0), получим
Из формулы Циолковского в виде (111.313) или в более общем виде (111.314), которую удобно представить как
где — число Циолковского, а следуют два важных практических вывода о том, что увеличение относительной скорости отбрасывания частиц υr и уменьшение времени их отбрасывания tk оказывает большее влияние на величину конечной скорости υk движения точки переменной массы, чем увеличение числа Циолковского Z. В этом можно убедиться путем простых подсчетов. В самом деле, например, из (111.313) видим, что увеличение относительной скорости отбрасывания υr частиц, например, вдвое, увеличивает скорость υk = υmax также вдвое, т. е. , а увеличение числа Циолковского вдвое увеличивает уа лишь согласно формуле
Поэтому в настоящее время наряду с улучшением конструкции ракет, применением новых легких высокопрочных материалов, что ведет к относительному уменьшению массы mk, наибольшее внимание уделяется исследованию физических явлений, которые могли бы стать источниками энергии для реактивных двигателей и дали бы возможность осуществить на практике теоретически максимально возможную скорость отбрасывания частиц υr, равную υr = с, где с = 3 • 108 м/с — скорость распространения света (в пустоте).
Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 2659;