Уравнение Мещерского

При выводе уравнения Мещерского будем исходить из следующих соображений. Пусть точка, масса которой изменяется с течением вре­мени, в момент t имела массу m (t) и абсолютную скорость υ. Тогда количество движения этой точки в момент t равно

k = m(t) υ.

Пусть далее к данной точке за время dt присоединилась другая точка с массой dm (t), обладающая в момент присоединения конечной абсолютной скоростью u.

Тогда в момент t+dt образуется одна точка с массой m (t)+ dm (t), имеющая скорость υ +dυ и количество движения

Поскольку в момент t количество движения указанной системы равнялось m (t) υ +udm, то приращение количества движения будет равно

С другой стороны, dk = dS, где dS — элементарный импульс равнодействующей силы F. Следовательно,

откуда

где uυ = υr — относительная скорость присоединенной к точке
массы (рис. 138).
Тогда

 

где

называется реактивной силой.

Следовательно,

Это дифференциальное уравнение движения точки переменной мас­сы называется уравнением Мещерского. Оно было выведено в его ма­гистерской диссертации, опубликованной в 1897 г.

Основной закон движения точки переменной массы, выражаемый уравнением (111.273). может быть сформулирован следующим обра­зом: при движении точки переменной массы в любой момент времени произведение массы этой точки на ее ускорение равно геометрической сумме действующих на точку сил F и реактивной силы Ф.

Если относительная скорость υr= uυ отделяющихся (или присоединяющихся) частиц будет равна нулю, т. е. тело переменной массы не отбрасывает отделяющиеся от него частицы, а просто распа­дается, то реактивная сила в этом случае будет равна нулю и из урав­нения Мещерского (111.310) видно, что движение такой точки пере­менной массы выражается уравнением

mυ=F,

которое имеет вид уравнения движения материальной точки постоян­ной массы, в котором масса m точки будет переменной величиной, заданной функцией времени.

Проектируя обе части уравнения (111.310) на оси неподвижной системы координат Охуz, получим три скалярных уравнения:

Для подавляющего числа случаев современной ракетодинамики можно принять гипотезу Циолковского, заключающуюся в том, что вектор относительной скорости υr отбрасываемых частиц постоянен по величине, лежит на касательной к траектории движения точки переменной массы и направлен в сторону, противоположную вектору скорости v движения излучаемой точки переменной массы, т. е.

υr=-υrτr

где

υr= =const,

τ— единичный вектор касательной к траектории движения точки переменной массы.

В этом случае уравнение движения (111.310) примет вид

mυ=F- υrm(t) τ.

В современной ракетодинамике большой интерес представляет случай прямолинейного восходящего движения ракеты, когда в урав­нении (111.310) равнодействующая внешних сил F представляет собой векторную сумму двух сил F1+ F2. Сила F1 = mа пропорциональна переменной массе движущейся точки; сила F2 — сила сопротивления, зависит от скорости движения точки. Эта задача впервые была по­ставлена и частично изучена И. В. Мещерским для двух случаев: когда сила сопротивления F2 является линейной функцией скорости точки и когда F2 пропорциональна квадрату скорости ее движения. Уравнение (111.311) при F = F1 + F2, F1 = mа примет вид

mυ=mаυrmτ + F2.


 


Если пренебречь силами сопротивления F2 и представить массу тела в виде m = m0 ƒ (t), где m0 — масса точки вначале, т. е. при t = 0; ƒ (0) = 1, то это уравнение примет вид

где a — известная функция, зависящая как от времени t, так и от расстояния.

В настоящее время функцию ƒ (t) в большинстве случаев принимают при линейном законе изменения массы в виде

ƒ (t)= 1 — αt,

а при показательном законе изменения массы в виде

ƒ (t)=e-αt.

Таким образом, массу движущейся точки выражают в двух видах:

m(t)= m0(1 — αt),

m(t)= m0 e-αt.

В этом случае реактивная сила Ф = υrm будет равна

Ф(1)= - α m0υr

либо

Ф(2)= - α m0 e-αtυr.

Так как по гипотезе К. Э. Циолковского υr = соnst, то величина реактивной силы Ф(1) будет постоянной, а силы Ф(2) — переменной, уменьшающейся по тому же закону, что и масса движущейся точки.

Таким образом, ускорение вызванное

силой Ф(1), действующей на точку, переменной массы, будет стечением

времени численно возрастать, а ускорение бу­дет оставаться постоянным.

Если F = 0, то υ = υ0. Отсюда получаем закон инерции для точки переменной массы.

Когда отсутствуют внешние силы, точка переменной массы будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью υ0 (при υ0≠ 0) или находиться в покое (при υ0= 0), если относительная скорость отделения ее частиц равна нулю, т. ё. υr = 0.

Если F = 0 и абсолютная скорость отделяющихся частиц и так­же равна нулю, т. е. при υr = — υ получим

mυ= - υm, или (mυ)=0.

Интегрируя и обозначая постоянную интегрирования С = m0υ0,

получим mυ = m0υ0, откуда

где m0 и υ0 — масса точки и скорость ее в момент t = 0, принятый за начальный.

Видим, что при отсутствии внешних сил и абсолютной скорости отделения частиц, равной нулю, скорость υ излучающей точки переменной массы увеличивается обратно пропорционально умень­шению массы излучаемой точки.








Дата добавления: 2015-08-08; просмотров: 1606; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2021 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.008 сек.