Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, используется вторая интерполяционная формула Ньютона, которая получается, если отыскивать интерполяционный полином в виде:

. (5.19)

Коэффициенты полинома (5.19), находятся из условия совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах:

. (5.20)

Подставив (5.20) в (5.19) и перейдя к переменной , получим окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона, используемой при ручных вычислениях:

. (5.21)

В пакете MATLAB решение задачи о нахождении значений интерполяционного полинома находится выполнением следующей последовательности действий.

1. Создать файл Newton2.m, содержащий описание функции, возвращаю­щей локальное значение интерполяционного полинома Ньютона

% листинг файла Newton2.m

function z=Newton2(t,x,y)

N=length(x);

for i=1:N

f(i,1)=y(i);

End;

for k=2:N

for i=1:N-k+1

f(i,k)=(f(i+1,k-1)-f(i,k-1))/(x(i+k-1)-x(i));

End;

End;

s=y(1);

for k=1:N

r=1;

for i=1:k-1

r=r*(t-x(N-i));

End;

s=f(N-k,k)*r+s

End;

z=s;

2. Задать табличные значения интерполируемой функции

>> N=8;

>> i=1:N;

>> x(i)=2*pi/(N-1)*(i-1);

>> y=sin(x);

3. Задать значения абсцисс точек, в которых вычисляется значение интерполяционного полинома

>> M=1000;

>> j=1:M;

>> X(j)=2*pi/(M-1)*(j-1);

>> Y=sin(X); % вычисление точных значений интерполируемой функции

4. Вычислить значения полинома Ньютона в узлах заданной координатной сетки

>> for k=1:M

Z(j)=Newton1(X(j),x,y);

End;

5. Построение разности между точным и интерполированными значениями функции (рис. 5.5)

>> plot(X,Y-Z)

Рис. 5.5. Разность между точным и интерполированными значениями функции с помощью второго полинома Ньютона