Основні властивості інтеграла Лебега від довільної функції.
Скрізь нижче в цьому параграфі є -вимірна підмножина множини , на якій визначені функції .
Безпосередньо із означення інтеграла Лебега від довільної функції випливають наступні його властивості:
1)
2)
3)
В справедливості властивостей 2),3) переконуємося на основі граничного переходу та відповідних властивостей інтеграла Лебега від простих функцій.
Спреведливі також властивості:
4)
Існує послідовність простих -інтегровних на невідємних функцій така, що , . Тоді , оскільки .
5)
Властивість доводиться на основі попередньої властивості.
6)
Це твердження випливає із властивостей 1),5).
7) , зокрема
,
.
8) Довільна функція є -інтегровна на -вимірній множині , такій що , і при цьому .
9)
.
10)
.
11) .
12) .
Якщо , то, згідно із попередньою властивістю . Якщо послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що , то послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що .
Оскільки , то переходячи в цій нерівності до границі при дістанемо .
Зазначимо, що сформульовані вище властивості справедливі і у випадку, коли .
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 537;