Основні властивості інтеграла Лебега від довільної функції.

Скрізь нижче в цьому параграфі є -вимірна підмножина множини , на якій визначені функції .

Безпосередньо із означення інтеграла Лебега від довільної функції випливають наступні його властивості:

1)

2)

3)

В справедливості властивостей 2),3) переконуємося на основі граничного переходу та відповідних властивостей інтеграла Лебега від простих функцій.

Спреведливі також властивості:

4)

Існує послідовність простих -інтегровних на невідємних функцій така, що , . Тоді , оскільки .

5)

Властивість доводиться на основі попередньої властивості.

6)

Це твердження випливає із властивостей 1),5).

7) , зокрема

,

.

8) Довільна функція є -інтегровна на -вимірній множині , такій що , і при цьому .

9)

.

10)

.

11) .

12) .

Якщо , то, згідно із попередньою властивістю . Якщо послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що , то послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій таких, що .

Оскільки , то переходячи в цій нерівності до границі при дістанемо .

Зазначимо, що сформульовані вище властивості справедливі і у випадку, коли .








Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 542;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.