Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.
Покажемо, що граничний перехід під знаком інтеграла Лебега можливий при значно слабкіших умовах, ніж у випадку інтеграла Рімана.
Теорема Лебега (про граничний перехід).
Якщо послідовність сумовних на множині , функцій збігається майже скрізь на до функції , і існує сумовна на функція така, що майже скрізь на , то функція сумовна на і
(1)
тобто при вказаних умовах можливий граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.
Перейшовши до границі при в нерівності дістанемо нерівність , справедливу майже скрізь на .
Звідси випливає -інтегровність функції на .
Задавши довільне число , розглянемо множини ,
.
Очевидно, . Оскільки із збіжності майже скрізь випливає збіжність за мірою, то при вказаних в теоремі умовах для довільного існує номер такий, що при .
Позначивши і враховуючи сказане вище, дістанемо
(2)
Із абсолютної неперервності інтеграла Лебега випливає, що
. (3)
Отже, якщо число вибрано так, що при заданому виконується (3), то
.
Оскільки числа довільні, то із попередньої нерівності випливає, що ,і, отже,
.
Наслідок. Якщо виконуються умови попередньої теореми окрім останньої і існує така стала , що майже скрізь на множині , то функція -інтегровна на і
.
Зауваження. Зазначимо, що твердження із попередньої теореми та наслідку із неї залишаються в силі, якщо умову збіжності майже скрізь на множині замінити умовою збіжності за мірою на .
Приклад. Оскільки послідовність збігається майже скрізь на до функції , і
, то
.
Теорема Фату. Якщо посліжовність функцій , що невідємні і -інтегровні на множині , збігається майже скрізь на до функції , , і , де , то функція -інтегровна на і
тобто в попередній нерівності можливий граничний перехід під знаком інтеграла.
Теорема Б. Леві. Якщо для послідовності сумовних на множині функцій виконується і
, де , то майже скрізь на існує скінченна границя
, функція сумовна на і
.
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 1267;