Дифференцирование под знаком интеграла

Вставка

(дифференцирование по параметру)

В предположении существования частной производной , для вычисления производной , Лейбниц дал правило, которое в обозначениях Лагранжа записывается как:

или, если воспользоваться обозначениями Коши

Если такая перестановка под знаком производной допустима, то говорят, что функцию можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Это вычисление производной под знаком интеграла и получило название правило Лейбница.

Если мы возьмём в (34) функцию и продифференцируем под интегралом, получим подынтегральную функцию (справа) в (35). Продифференцировав это выражение (под интегралом в (35) - получим подынтегральное выражение в (36). Затем находим вторую производную от левой части (34) . Интегрируя (36) и дважды дифференцируя получим выражение (37).

(34)

= (35)

= (36)

В нашем случае . Интегрируем (34):

= ,

более подробно:

= = =

= = =

= = . (37)

Дифференцируем (37):

= .

=

= = .

Подставим

= ,

т.е. получили, что

= .

; .

Найдем

= … или проще .

Откуда имеем:

( )

, , , , | |

Нужно обратить внимание, что появилась постоянная составляющая , т.е. площадь под кривой 0.

- площадь под кривой!

По сравнению с «пилой» более быстрое спадание гармоник ( )

n = 1 1

n = 2 1/4 = 0.25

n = 3 1/9 0.11

n = 4 1/16 = 0.08 ,

т.е. уже не 10 гармоник хватит, а 4. Это связано с большей гладкостью кривой. У функции имеем разрыв производной.

Общее свойство. Чем глаже кривая, тем скорее спадает спектр.

Проверим влияние гладкости кривой на поведение спектра. Рассмотрим функцию f(t) следующего вида, заданную на таком же интервале :

= = = .

= = -

- = = = = . Т.е. получили, что

Мы видим, что, по сравнению с предыдущим случаем, меняется только , действительно, площадь изменилась, а спектральные гармоники не меняются.

В то же время, по сравнению с «пилой», существенное изменение

- разрыв f(t)

- разрыв f’(t)

- разрыв f’’(t) , и т.д.