Сігма-аддитивність та абсолютна неперервність інтеграла Лебега.
Нехай є -інтегровна функція на множині . Тоді, як відомо, функція -інтегровна і на кожній -вимірній підмножині множини . З'ясуємо тут основні властивості функції
(1)
що визначена на сігма-алгебрі всіх -вимірних підмножин множини , . Справедливі наступні твердження.
1. Якщо і всі множини (їх зчисленна або скінченна сукупність) є -вимірні і попарно не перетинаються, а функція сумовна на , то вона сумовна на кожній множині і справедлива рівність
(2)
причому ряд із правої частини збігається абсолютно.
Зазначимо, що сформульоване твердження називається властивістю -аддитивності інтеграла Лебега, оскільки рівність (2) можна записати у вигляді
.
2. Якщо і множини із попереднього твердження, , а функція сумовна на кожній множині причому ряд
збігається, то функція сумовна на множині і
.
3. Інтеграл Лебега (1), як функція множин, є абсолютно неперервна функція тобто, якщо функція сумовна на множині то
Із сформульованих тверджень випливає, що при невідємній і сумовній на функції функція , є також невідємна і -адитивна на тобто вона являє собою міру таку, що , коли .
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 563;