Прості функції та їх інтеграл Лебега.

Будемо тут розглядати простір із повною мірою , визначеною на -алгебрі , причому .

Функція , , називається простою. якщо вона приймає на лише скінченну або зчисленну сукупність попарно різних значень

.

Очевидно, якщо позначити , то при і справедлива рівність

. (1)

Тоді проста функція єдиним способом може бути записана у вигляді

(2)

де -характеристична функція множини , ,тобто така функція, що , якщо , і , якщо .

Можна показати, що проста функція , яка записана у вигляді (2), де при , є -вимірна (на множині ) тоді і лише тоді, коли всі множини є -вимірні.

Можна показати, що справедливе також наступне твердження.

Теорема. Функція є -вимірна (на множині ) тоді і лише тоді, коли існує послідовність простих -вимірнмх (на ) функцій , яка збігається рівномірно на множині до функції

.

Нехай є проста і вимірна (на ) функція, що зображена у вигляді (2), де -скінченна або зчисленна послідовність всіх попарно різних її значень на , занумерованих в довільному порядку, і справедлива рівність (1), де всі множини є -вимірні. Нехай -довільна -вимірна підмножина множини . Тоді у відповідності із рівністю (2) утворимо числовий ряд

(3)

Означення. Якщо ряд (3) абсолютно збігається, то проста -вимірна (на ) функція називається інтегровною за Лебегом або сумовною ( -інтегровною або -інтегровною) на множині а сума цього ряду називається інтегралом Лебега від функції по множ і позначається або або ,

тобто

.

Зрозуміло, що попереднє означення в силі і тоді, коли . В цьому випадку інтегровність за Лебегом простої -вимірної функції на множині означає абсолютну збіжність ряду

причому .

Якщо проста -вимірна функція є -інтегровна на -вимірній множині , то вона -інтегровна і на кожній -вимірній її підмножині . Такий висновок випливає із попереднього означення та нерівностей

.

При умовах, вказаних на початку параграфа, справедливі наступні твердження.

1. Якщо прості -вимірні функції , -інтегровні на -вимірній множині , , і -фіксоване дійсне число, , то функції також прості, -вимірні на і -інтегровні на , причому

.

2. Якщо проста -вимірна функція обмежена на -вимірній множині , тобто , то вона -інтегровна на , причому .

Оскільки

то функція -інтегровна на . Окрім того .

3. Якщо є проста і -вимірна функція, то функція є також проста і -вимірна на , причому функція та одночасно сумовні або несумовні на кожній -вимірній множині .

Зрозуміло, що вказані три твердження справедливі і у впадку, коли .

§.3.2. Інтеграл Лебега від довільної функції.

Будемо вважати, що виконуються всі умови, вказані на початку цього розділу. Нехай -довільна -вимірна множина, , і -функція, яка приймає на довільні дійсні значення.

Означення. Функція називається сумовною або інтегровною за Лебегом ( -інтегровною або -інтегровною ) на множині , якщо існує послідовність простих -вимірних і -інтегровних на функцій , яка рівномірно збігається на до функції ,

.

При цьому границя

(1)

називається інтегралом Лебега від функції по множині і позначається або тобто

.

Зрозуміло, що сформульоване означення в силі і тоді, коли .

Можна переконатися в коректності попереднього означення, тобто в справедливості наступних тверджень:

а) границя (1) існує скінченна для кожної послідовності , вказаної в означенні;

б) при заданій функції границя (1) не залежить від вибору послідовності , вказаної в означенні;

в) для простої -вимірної на функції сформульоване тут означення інтеграла рівносильне аналогічному означенню із попереднього параграфа.

Справді, згідно із властивостями інтеграла Лебега від простих функцій

тобто послідовність ,як числова послідовність, збігається(за критерієм Коші).

Якщо припустити, що існують дві послідовності та , складені із простих, -вимірних і -інтегровних на функцій, таких, що ,

але , причому , то розглянемо послідовність

(2)

Очевидно, послідовність (2) також збігається рівномірно на до функції , але послідовність інтегрілів Лебега по від її членів розбіжна. Одержана суперечність із першим твердженням показує справедливість другого твердження.

Для доведення третього твердження, в якому роль функції має відігравати проста функція, достатньо розглянути таку послідовність простих функцій , що .

Зазначимо, що функція є -інтегровна по кожній -вимірній підмножині множини , , якщо вона -інтегровна по множині , і при цьому , легко переконатися,що

.

Оскільки границя послідовності -вимірних на множині функцій є -вимірна функція на , то із попереднього означення випливає, що кожна -інтегровна на множині , функція є -вимірна на множині , тобто -вимірність функції на є необхідна умова її -інтегровності на множині .

Згідно із відповідною теоремою попереднього параграфа, для -вимірної і обмеженої на -вимірній множині , фукції існує послідовність -вимірних, обмежених на і простих функцій , яка збігається рівномірно на до функції .

Оскільки кожна обмежена, -вимірна проста функція є -інтегровна на , то, згідно із попереднім означенням, обмежена на -вимірна функція є сумовна на .Звичайно, що існують і необмежені функції, що сумовні на даній -вимірній множині .

Зазначимо, що клас всіх -інтегровних на множині функцій позначають .