Астрономо-геодезичні відхилення прямовисних ліній

Оскільки відхилення прямовисних ліній у будь-якій точці визначається як різниця двох векторних напрямів, то воно повинно визначатись двома параметрами - величиною кута, що позначається через і називається повним відхиленням прямовисної лінії, та азимутом площини, в якій він розміщується. Проте частіше відхилення прямовисних ліній визначаються двома іншими величинами: проекцією повного відхилення прямовисної лінії на площину меридіана і першого вертикала даної точки. Проекція на площину меридіана називається складовою відхилення прямовисної лінії в меридіані і позначається , а проекція на площину першого вертикалу - складовою відхилення прямовисної лінії в першому вертикалі і позначається через .

Нехай фізична поверхня, поверхня геоїда та поверхня земного еліпсоїда в точці співпадають. На рис. 5.1. зображений полярний сферичний трикутник , вершини якого представлені геодезичним і астрономічним зенітами точки та полюсом світу . Даний трикутник утворений проекціями осей систем координат на сферу одиничного радіуса та точкою перетину геодезичного і астрономічного меридіанів точки (лінія паралельна осі обертання Землі). Згідно визначення, відхилення прямовисної лінії визначається кутом або стороною сферичного трикутника - та азимутом площини - , в якому знаходиться повне відхилення . Дуга вимірює кут між нормаллю до еліпсоїда і напрямом на точку , тобто вираз відповідає геодезичній широті точки . Відповідно, дуга відповідає астрономічній широті даної точки . Оскільки астрономічні і геодезичні довготи відраховуються від одного початкового меридіана, то . Сферичний трикутник з позначеними сторонами і кутами приведений на рис. 5.1.

Рис. 5.1

Проведемо криву ортогональну до . Утворений трикутник буде малим, оскільки повне відхилення прямовисної лінії рідко перевищує десятки секунд дуги. Тоді, із малого сферичного трикутника , отримаємо

(5.3)

У формулі (5.3) через та позначено складові повного відхилення прямовисної лінії у меридіані та першому вертикалі відповідно.

На основі формул синусів та п’яти елементів для сферичного трикутника маємо

,

.

Враховуючи члени першого порядку розкладів для малих величин та позначення (5.3), отримаємо остаточно вирази для складових відхилення прямовисних ліній

(5.4)

На основі (5.3) отримаємо

(5.5)

На практиці отримують спочатку складові за (5.4), а потім вже за формулами (5.5) і .

Можна отримати величину відхилення прямовисної лінії для будь-якого напряму з азимутом . На основі рис. 5.1 (без доведення) запишемо остаточно

(5.6)

При виводі формул астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній вважалося, що фізична поверхня і поверхня земного еліпсоїда в заданій точці збігаються або перетинаються. В загальному випадку точка фізичної поверхні не знаходиться на поверхні еліпсоїді, а має певну висоту . Через це напрям прямовисної лінії, що задається безпосередньо виміряними астрономічними координатами деякої точки , не збігається з напрямом прямовисної лінії у перетині її з поверхнею еліпсоїда.

Виходом з такого становища було б редукування астрономічних координат на поверхню еліпсоїда по прямовисній лінії. Проте траєкторія прямовисної лінії всередині Землі може змінюватись невідомим нам чином внаслідок незнання густини мас земної кори, що унеможливлює точне редукування астрономічних координат.

Очевидно, що трактування поняття відхилення прямовисної лінії як кут між дотичними до силових ліній дійсного і нормального полів сили ваги буде відповідати всім можливим випадкам. Так у виміряні астрономічні координати не потрібно вводити жодних поправок, оскільки саме вони дають напрям вектора сили ваги в даній точці земної поверхні. Проте другий вектор – напрям нормалі або напрям дотичної до силової лінії нормального поля рівневого еліпсоїда, відрізняється від напряму нормалі на поверхні цього еліпсоїда. Геометричний зміст різниці між вказаними напрями полягає в тому, що від геодезичних координат на еліпсоїді здійснюється перехід до геодезичних координат, віднесених до поверхні еліпсоїда, що проходить через дану точку . Оскільки силові лінії нормального гравітаційного поля є плоскими кривими, тобто відсутні викривлення в довготі, то при переміщенні по них змінюється тільки широта.

З врахуванням зроблених пояснень можемо написати

(5.7)

У (5.7) позначено: - напрям нормалі до еліпсоїда в точці , або, інакше, напрям дотичної до силової лінії нормального поля, яка проходить через точку і утворює з площиною екватора кут , - напрям сили ваги в точці , який складає з площиною екватора кут .

Оскільки із опрацювання спостережень ми можемо отримати геодезичну широту , то для визначення величини складової необхідно знати різницю . В курсі фізичної геодезії дається вивід цієї поправки, кінцевий вигляд якої наступний

(5.8)

Отже, остаточні формули для визначення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній будуть мати вигляд

(5.9)

Знайдемо величини впливу відхилення прямовисних ліній на азимути, горизонтальні та вертикальні кути. Якщо позначити: - геодезичний азимут напряму з пункту на суміжний пункт, - астрономічний азимут того ж напряму, то різниця вказаних азимутів має такий вигляд

. (5.10)

Звернемо увагу, що вираз (5.10) справедливий як для редукції астрономічного азимута, визначеного із астрономічних чи гіроскопічних спостережень, так і для виміряного горизонтального напряму.

У рівнянні (5.10) розрізняють дві частини: одну у вигляді , яка є сталою в даній точці, і другу - змінну, що залежить від азимута конкретного напряму та його зенітної відстані.

Оскільки горизонтальний кут визначається різницею напрямів, то, очевидно, що формула

(5.11)

і буде виглядом поправки в горизонтальний кут за відхилення прямовисної лінії. Величину називають поправкою в горизонтальний кут, обумовлену відхиленням прямовисної лінії у вершині даного кута. Ця поправка вводиться при редукуванні виміряних горизонтальних кутів з фізичної поверхні на поверхню земного еліпсоїда (див. § 5.5.2).

Поправка , що визначається формулою (5.11), переважно має досить мале числове значення у порівнянні з поправкою . Так, при визначенні астрономічних азимутів сторін геодезичної мережі, зенітні відстані, як правило, близькі до , тобто . Приймемо, що для деякого пункту на широті складові відхилення прямовисної лінії дорівнюють , а азимут напряму - . Тоді

Зважаючи, що астрономічний азимут визначається з похибкою , то для переходу до геодезичного азимута рівняння (5.11) записують у вигляді

. (5.12)

Це рівняння називають рівнянням Лапласа, а азимути, що отримують за формулою (5.12), називають азимутами Лапласа. Для їх отримання необхідно на пункті геодезичної мережі мати визначені значення астрономічного азимута та астрономічних координат, переважно, астрономічної довготи. Оскільки азимути Лапласа практично не залежать від похибок кутових вимірювань в геодезичних мережах, то їх можна використовувати як надійний контроль кутових вимірювань у ланці тріангуляції. Нехтувати поправкою можна при одиничних редукуваннях горизонтальних кутів. При передачі азимутів через багато кутів трикутників ланки тріангуляції ця поправка може носити систематичний характер, особливо у випадку неповної відповідності розмірів та орієнтування референц-еліпсоїда геоїду в межах території розташування астрономо-геодезичної мережі, що позначиться на складових .

Формула

(5.13)

визначає вигляд редукційної поправки за вплив складових відхилення прямовисних ліній на виміряні зенітні відстані.

В класичній геодезії пунктами для отримання астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній служили пункти Лапласа. На інших пунктах геодезичної мережі ці відхилення визначали через інтерполювання.

На пунктах Лапласа чи на будь-яких інших пунктах, де визначені астрономічні і геодезичні координати, складові астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній обчислюються за формулами (5.9). Не важко помітити, що похибка значення при визначенні величини завжди буде настільки малою, що нею можна знехтувати. Точність визначення астрономічних координат складає в широті та в довготі. Враховуючи (5.9), отримаємо для середніх квадратичних похибок

Вважаючи, що точність визначення широти і довготи є однаковою, тобто , запишемо

.

При опрацюванні геодезичних мереж величиною похибки визначення геодезичних координат можна знехтувати у порівнянні з похибкою астрономічних визначень. Це означає, що обчислення астрономо-геодезичних відхилень прямовисних ліній повністю залежить від точності астрономічних визначень, що виконуються на пунктах геодезичної мережі. Для пунктів, астрономо-геодезичні відхилення яких визначають шляхом інтерполювання через відомі їх значень на інших пунктах, точність буде визначатися точністю визначення останніх та точністю інтерполювання.