Градієнт

Нехай задано скалярне поле u = u(x;y;z), причому функція u має частинні похідні .

Вектор зветься градієнтом скалярного поля u і позначається:

.

Розглянемо зв'язок між градієнтом та похідною за напрямком.

Теорема. Нехай задано скалярне поле u=u(x;y;z) і в ньому визначено скалярне поле градієнтів .

Похідна за напрямком деякого вектора дорівнює проекції вектора grad u на вектор .

Доведення. Розглянемо одиничний вектор , відповідний вектору : .

Обчислимо скалярний добуток

.

Вираз у правій частині є не що інше, як похідна від функції u=u(x;y;z) за напрямком :

Якщо позначити кут між векторами grad u та через j (рис.2.), то можна записати або .

З доведеної теореми легко з'ясовується зв'язок між градієнтом та похідною в даній точці за напрямком.
У точці M(x;y;z) будуємо вектор gradu (рис.3.). Далі будуємо сферу, для якої gradu є діаметром. З точки M проводимо вектор . Позначимо точку перетину його з поверхнею сфери через P. Тоді, очевидно, , тобто .

З'ясуємо деякі властивості градієнта.

1. Похідна в заданій точці за напрямком вектора має найбільше значення, якщо напрямок вектора співпадає з напрямком градієнта; це найбільше значення похідної дорівнює .

2. Похідна за напрямком вектора, перпендикулярного до вектора gradu, дорівнює нулю.

3. Нарешті, якщо функція u = u(x;y) є функцією двох змінних, то вектор лежить у площині Оху.

Доведемо, що gradu направлений перпендикулярно до лінії рівня u(x;y)=C, яка лежить в площині Оху і проходить через відповідну точку. Дійсно, кутовий коефіцієнт k₁ дотичної до лінії рівня u(x;y)=C буде рівнятися . Кутовий коефіцієнт k₂ градієнта дорівнює . Тоді k₁* k₂= -1. Це і доводить справедливість твердження.

Приклад. Задана функція u=x²+y²+z². Визначити градієнт в точці M(1;1;1).

Розв'язання: У довільній точці .

В точці M .