Скалярне поле

Поверхня та лінія рівня.

Розглянемо скалярне поле u(P)=u(x;y;z).

Поверхнею рівня скалярного поля u(P) називається така поверхня, на якій функція u(P) має стале значення.

Рівняння поверхні рівня: u(x;y;z)=С (С=const).

Наприклад. Для поля u=x²+y²+z² поверхні рівня визначаються рівнянням u=C; x²+y²+z² =С. (С³0).

Для різних значень С щоразу будемо мати окрему сферу. Тому кажуть, що поверхні рівня складають сім'ю поверхонь. Якщо задати у просторі точку, наприклад, Р(1;-1;2), то можна виділити ту єдину сферу, яка проходить через цю точку: 1²+(-1)²+2²=С, С=6, отже: x²+y²+z²=6.

Для плоского скалярного поля розглядають лінії рівня.

Наприклад. Для поля u=x²-y² лінії рівня визначаються рівнянням x²-y²=С. Якщо С>0, маємо сім'ю гіпербол з вершинами на осі Ох, якщо С>0 ¾ це сім'я гіпербол з вершинами на осі Оу, якщо С=0, маємо асимптоти гіперболи.

Лініями рівня можуть бути, наприклад, на топографічних картах горизонталі ¾ лінії, уздовж яких висота місцевості над умовним рівнем моря є стала. Лінії рівня (лінії рівного потенціалу чи еквіпотенціальні лінії) знаходять широкий вжиток при розрахунках електричних полів. У цьому разі вони є лініями, уздовж яких електричний потенціал у всіх їх точках є сталим. Фізично це означає, що робота, виконувана силами електричного поля по переносу одиничного позитивного заряду з довільної точки даної лінії рівня в точку, потенціал якої прийнятий рівним нулю, буде однакова. Сукупність ліній рівного потенціалу дає наочне зображення електричного поля, що полегшує його вивчення.