Похідна за напрямком

Нехай задано скалярне поле u=u(P). Візьмемо у просторі точку P(x;y;z). Проведемо з точки Р вектор , який має направляючі косинуси cos a, cos b, cos g (рис.1.). На векторі на відстані S від його початку розглянемо точку Р₁ (x+ x; y+ y;z+ z). Таким чином . Будемо вважати, що u=u(x;y;z) неперервна і має неперервні похідні.

Повний приріст функції можна записати у вигляді

,

де наближаються до нуля, якщо S®0.

Поділимо рівність на S:

.

Враховуючи, що = cos a, = cos b, = cos g, цю рівність перепишемо так:

.

Границя відношення при S®0 зветься похідною від функції u=u(x;y;z) в точці Р(x;y;z) за напрямком вектора і позначається: .

Таким чином .

У випадку плоского поля u=u(x;y)

; маємо:

,

де a ¾ кут, утворений напрямком з віссю О_х.

Приклад. Задано функцію u=x²+y²+z². Знайти похідну в точці P(1;1;1) в напрямку вектора .

Розв'язання: Обчислюємо направляючі косинуси

.

Далі

в точці P(1;1;1): .

Отже, .