Тема. Похідна складної функції

 

План

  1. Похідна складної функції.

1. Нехай потрібно обчислити за даним значенням х відповідне значення z функції h, заданою формулою

z = h(х)= .

Для цього треба спочатку обчислити за даним х значення

у =f(х)= 1-х2,

а потім вже за цим уобчислити

z = g(у)=

Отже, функція f ставить у відповідність числу х число у, а функція g - числу у число z. Говорять, що h є складна функція, складена з функцій g і f, і пишуть:

h(х) = g (f(х)).

Щоб обчислити значення складної функції h(х) = g (f(х)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення у «внутрішньої» функції f у цій точці, а потім g (у).

Яка область визначення складної функції g (f(х))? Це - множина всіх тих х з області визначення функції f, для яких f (х) входить в область визначення функції g.

У розглянутому прикладі областю визначення функції f є вся числова пряма. Значення h(х) визначене, якщо значення f (х) належить області визначення функції g(у) = . Тому потрібно, щоб виконувалася нерівність в 0, тобто 1 - х2 0, і, виходить, область визначення функції g (f (х)) - це відрізок [-1; 1].

 

  1. Формула похідної складної функції.

У попередніх пунктах ви навчилися знаходити похідні раціональних функцій, зокрема многочленів. Однак задача обчислення похідної функції f(х) = (2х+3)100, хоча й зводиться до знаходження похідної многочлена, вимагає дуже великого об'єму роботи: треба представити (2х+3) у вигляді многочлена та продиференціювати 101доданок отриманої суми. Можна помітно спростити рішення цієї та інших задач.

 

Якщо функція f має похідну в точці х0, а функція g має похідну в точці у0 = f(х0), то складна функція h(х) = g (f(х)) також має похідну в точці хо, причому

h′(хо) = g′ (f(хо)) f′(хо).

Приклад 1. Знайдемо похідну функціїh(х) = (2х+3)100.

Функцію h можна представити у вигляді складної функції h(х) = g (f(х)), де g(у) = у100, у = f(х) = 2х+3.

Тому що f′(х) = 2 і g′ (у) = 100у99, маємо

h′(х) = 2* 100у99 = 200(2х+3)99.

 


 

Таблиця похідних
Похідні елементарних функцій Похідні складних функцій
 
 
, х 0 , х 0
, a > 0, a - стала
,
, , a - стала
на ОДЗ правої частини формули  

Вправи

 

  1. Задайте формулами елементарні функції f(x) і u(x), з яких складається складна функція

1) у = ;

 

2) у = (2х + х2)5;

 

 

3) у = ;

 

4) у = соs(2х - ).

 

 

  1. Знайдіть похідну функції f(x):

1) f(x) = (х2 + х)3;

 

2) f(x) = (2х - 1)-5;

 

3) f(x) = (х - )4;

 

4) f(x) = ;

 

5) f(x) = ;

 

6) у = ;

 

7) у = (х2 - 2х)3;

 

8) s = (t2 – t + 1)4;

 

9) f(u) = 5(3u2 + 4 – u)4;

 

10) s = ;

 

11) у = ;

 

12) f(x) = ;

 

13) f(x) = 2 ;

 

14) у = ;

 

15) у = ;

 

16) f(t) = t2 ;

 

17) f(t) = (t - 1) ;

 

18) f(t) = (t + 1)2 ;

 

19) f(x) = .










Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 2528;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.014 сек.