Тема. Границя функції в точці та на проміжку. Властивості границь. Неперервність функції в точці та на проміжку. Властивості неперервних функцій

План

Границя функції в точці та на проміжку.
Властивості границь.
Неперервність функції в точці та на проміжку.
Властивості неперервних функцій.

1. Поняття границі функції в точці.

Нехай задано деяку функцію, наприклад, f(x) = 2х – 1. Розглянемо графік цієї функції та таблицю її значень у точках, які на числовій прямій розташовані достатньо близько до числа 2.

З таблиці та графіка видно, що чим ближче аргумент х до числа 2 (це позначають х 2 і кажуть, що х прямує до 2), тим ближче значення функції f(x) = 2х – 1 до числа 3 (позначають f(x) 3 і кажуть, що f(x) прямує до 3). Це записують також так: (2х – 1) = 3 (читається: «Ліміт 2х – 1 при х, що прямує до 2, дорівнює 3» і кажуть, що границя функції 2х – 1 при х, що прямує до 2 (або границя функції в точці 2), дорівнює 3.

У загальному випадку запис означає, що при , тобто В – число, до якого прямує значення функції f(x), коли х прямує до а.

Запис позначень і за допомогою знака модуля

Позначення і його зміст	Ілюстрації	Запис за допомогою модуля
На числовій прямій точка ч знаходиться від точки а на малій відстані (менше )
Значення на числовій прямій знаходиться на малій відстані від В ( менше )
Означення границі функції в точці
	Число В називається границею функції f(x) у точці а (при х, що прямує до а), якщо для будь-якого додатного числа знайдеться таке додатне число , що при всіх х а, які задовольняють нерівності , виконується нерівність

2. Властивості границь

Зміст правил граничного переходу	Запис і формулювання правил граничного переходу
Якщо f(x) = c, то при	Границя сталої функції дорівнює цій самій сталій
Якщо при і , то	Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їх границь, якщо границі доданків існують
	Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їх границь, якщо границі множників існують
	Сталий множник можна виносити за знак границі
(де В 0)	(де ) Границя частки двох функцій дорівнює частці їх границь, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю

3. Неперервність функції в точці та на проміжку

Функція f(x) називається неперервною в точці а, якщо при , тобто

4. Властивості неперервних функцій

Якщо функція f(x) неперервна в кожній точці деякого проміжку І, то її називають неперервною на проміжку І.

Якщо функції f(x) і g(x) неперервні в точці а, то сума, добуток і частка неперервних в точці а функцій неперервні в точці а (частка у випадку, коли дільник g(x) 0 )

Графік функції, неперервної на проміжку, - нерозривна лінія на цьому проміжку.

Всі елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення, тому на кожному проміжку з області визначення їх графіки – нерозривні лінії.

Якщо на інтервалі функція f(x) неперервна і не перетворюється на нуль, то вона на цьому інтервалі зберігає сталий знак.

Вправи

Розкрити зміст нерівності < .
Як зобразити - околицю точки а = - 2, якщо = 0,5.
Розв'язати рівняння та нерівності:

1) = 4;

2) = 0;

3) = -6;

4) = х;

5) = -х;

6) > 0;

7) < 0;

8) 2;

9) > 7;

10) -5.

Чи є неперервною в кожній із точок х = -1, х = 1, х = 3 функція, графік якої зображено на рис 1

Рис. 1

Чи є функція безперервною в кожній точці даного проміжку?

1) f (x) = x⁵ – 3x²+ 2, (- ; + );

2) f (x) = , [5; + );

3) f (x) = , (0; + ).

4) f (x) = x² – 3x, (- ; + );

5) f (x) = , (0; + );

6) f (x) = , [2; + ).

З'ясувати, до якого числа прагне функція f (x), якщо

1) f (x) = при х 0;

2) f (x) = x² – 5x+ 1 при х 1;

3) f (x) = при х 2;

4) f (x) = при х -1;

5) f (x) = при х 3.

Знайти: 1) ( x³ + 2x- 1); 2) ; 3) .
Дослідити функцію f (x) = у точці х₀ = 1.
Дослідити функцію f (x) = , х R, x 3 на безперервність у точці х = 3.
Дослідити функцію на безперервність у точках х = 0, х = -1, х = 1, якщо f (x) =
Знайти: