Векторне поле

Нехай в деякій області простору задано векторне поле

,

де ‑ скалярні функції.

Означення. Векторною лінією поля зветься лінія, дотична до якої в кожній її точці співпаде з вектором , що визначає поле в цій точці.

Прикладами векторних ліній поля в електротехніці є лінії вектора напруги магнітного поля чи лінії вектора напруги електричного поля . Лінії вектора називають силовими лініями внаслідок того, що напруга електричного поля чисельно дорівнює силі, яка діє в даній точці поля на одиничний додатній заряд. Напрямки вектора цієї сили та вектора завжди співпадають.

Виведемо диференціальне рівняння векторних ліній.

Нехай (рис.5) AB ‑ векторна лінія, ‑ радіус-вектор точки P(x;y;z). Тоді .

Обчислимо .

З диференціального числення відомо, що вектор направлений по дотичній до AB в точці P. Отже, , але тоді з умови паралельності векторів .

Це і є диференціальне рівняння векторних ліній. Якщо векторне поле за природою є поле сили, то і його векторні лінії будуть силовими.

Якщо векторне поле задано на площині, то таке поле будемо називати плоским: .

Приклад. Постійний електричний струм I тече по нескінченно довгому провіднику, співпадаючому з віссю OZ в напрямку знизу вгору. Вектор напруги магнітного поля , створюваного цим струмом, в довільній точці P(x;y;z) дорівнює

,

де ‑ відстань від P(x;y;z) до осі OZ. Знайти векторні лінії магнітного поля .

Розв'язання. Запишемо векторне поле у вигляді , тобто .

Диференціальне рівняння векторних ліній після очевидних скорочень набуде вигляду: або

Після інтегрування: