Потенціальне векторне поле

Розглянемо плоске векторне поле .

Нехай у деякій однозв'язній області D поля виконується умова .

Тоді вираз P(x,y)dx+Q(x,y)dy є повним диференціалом деякої функції u=u(x,y), тобто ,

де .

Але тоді задане векторне поле можна записати так:

.

Означення. Векторне поле зветься потенціальним, якщо воно є градієнтом деякого скалярного поля u: .

Скалярна функція u зветься потенціалом векторного поля .

Іноді перед градієнтом ставиться знак "-", що не має принципового значення, а лише відповідає конкретному фізичному змісту. Наприклад, для електростатичного поля означає, що в напрямку вектора напруги електричного поля електричний потенціал спадає.

Як бачимо, умова в потенціальному полі рівнозначна існуванню повного диференціала. Відповідно, задача відшукання повного диференціала рівнозначна задачі обчислення потенціалу векторного поля.

Зазначимо, що потенціал векторного поля обчислюється з точністю до довільної сталої на підставі того, що grad(u+c)=gradu.

Приклад. Пересвідчитись, що векторне поле

потенціальне і знайти його потенціал.

Розв'язання. P(x,y)=2x-3y²+1

Q(x,y)=2-6xy

свідчить про те, що поле потенціальне. Потенціал векторного поля дорівнює циркуляції цього поля по деякій лінії L

Шлях інтегрування L виберемо так:

=

по відрізку M₀N: y=0; dy=0

по відрізку NM: x=const; dx=0

Отже, u(x,y)=x²+x+2y-3xy²+C (C=const).

Розглянемо просторове векторне поле

.

Якщо векторне поле потенціальне, а u=u(x,y,z) ‑ його потенціал, то

У потенціальному векторному полі циркуляція не залежить від шляху інтегрування, а лише від початкової і кінцевої точок M₀(x₀;y₀;z₀) та M(x;y;z):

.

Приклад. Знайти циркуляцію градієнта скалярного поля u=xy по відрізку прямої, яка з'єднує точки A(1;1) та B(2;2).

Розв'язання: , тоді

Циркуляцією градієнта скалярного поля є різниця потенціалів цього поля.

Для потенціального поля справедлива теорема, яка відповідає розглянутим раніше властивостям криволінійного інтегралу:

Теорема. Наступні чотири властивості векторного поля , заданого в однозв’язній області , еквівалентні:

1. циркуляція поля по будь-якому замкненому контуру, розміщеному в області , дорівнює нулю;

2. циркуляція поля впродовж довільної кривої (яка лежить в області ) з початком в точці А та кінцем в точці В залежить тільки від положення точок А та В і не залежить від форми кривої;

3. існує функція така, що ;

4. поле є безвихорним, тобто .