Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственные векторы. Квадратичные формы.

Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственных векторов, методы их нахождения.

Определение. Пусть и – линейные пространства размерности и соответственно, – будем называть оператором, действующим из и

, или , говорят что y – образ элемента x, а x – прообраз y.

Определение. Оператор , действующий из в называется линейным, если для и выполняются соотношения:

1. .

2. .

Если (комплексная плоскость), то – называют линейным функционалом. Если совпадает с , то – называют линейным преобразованием пространства.

Определение.Произведение λ на называется оператор λA определяемый равенством . , где нулевой оператор,

, противоположный оператор. - I – тождественный или единичный оператор.

Определение.Произведением оператора на называется оператор, для которого верны следующие соотношения :

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Определение.Оператор называется обратным для если, , обозначают .

Определение. Ядром линейного оператора называется множество всех элементов пространства , для которых : .

Определение.Образом линейного оператора называется множество элементов таких что : .

Определение.Рангом линейного оператора называется число равное .

Теорема. Пусть и пусть , тогда .