Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка определяются уравнением второй степени. Рассмотрим вращение линий второго порядка вокруг их осей симметрии.

. Поверхность называется плоскостью вращения с осью , если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой и лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой.

Эллипсоиды. Рассматриваем поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии.

Сжатый вытянутый эллипсоид

В первом и втором случае проекциями будут эллипсы и окружности, в последнем – только эллипсы. Их каноническое уравнение записано в виде:

(18.1)

Конусы. Рассмотрим на плоскости пару пересекающихся прямых.

Поверхность получаемая вращением таких прямых, имеет уравнение:

(18.2)

Или

и называется прямым круговым конусом. При сжатии его к оси прямой конус переходит в конус второго порядка

(18.3)

Сечение конуса второго порядка дает либо эллипсы либо окружности. Минус стоит перед той координатой, вокруг которой конус вращается.

Гиперболоиды. Однополостные гиперболоиды получаются при вращении гиперболы вокруг той оси, которая ее не пересекает.

(18.4)

Минус стоит перед координатой, вокруг которой вращается гипербола. Интересным свойством однополостного гиперболоида является то, что его образующие прямолинейны.

Определение. Образующими называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности.

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит две прямолинейные образующие. Их уравнения записываются в форме:

(18.5)

Если гиперболу вращать вместе с ее асимптотами, то асимптоты дадут нам конус вращения называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения.

Двуполостный гиперболоид вращения – это поверхность вращения гиперболы вокруг той ее оси, которую она пересекает.

Его уравнение записывается в форме

(18.6)

или

Также как и для однополостного асимптотический конус. Здесь двум ветвям гиперболы соответствуют две не связанные полости.

Элиптические параболоиды. При вращении параболы вокруг ее оси мы получаем поверхность с уравнением:

называемую параболоидом вращения. В общем виде его уравнение записывается как

(18.7)

Поверхность называется эллиптическим параболоидом. Его сечениями являются эллипсы и параболы.

Гиперболический параболоид. Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида:

(18.8)

Называется гиперболическим параболоидом. Т.е. на гиперболу надета парабола. Гиперболическим параболоид, как и однополостный гиперболоид имеет два семейства прямолинейных образующих. Его проекциями являются параболы и гиперболы.