Приведение кривой 2-го порядка к каноническому виду.
Рассмотрим общее уравнение кривой 2-го порядка в евклидовом пространстве, с ортонормированным базисом , ,
1) Выделим квадратичную форму ;
Приведем её к каноническому виду, для этого найдем собственные значения
, - вещественные числа
следовательно .
2) Для того чтобы выразить x, y через и , найдем координаты векторов нового базиса. За новый базис необходимо взять ортонормированные собственные векторы квадратичной формы соответственно λ1 и λ2, для того чтобы их найти необходимо решить системы.
и
Матрица перехода от старых координат к новым координатам имеет вид:
, т. е. , где ,
Перейдя к новым координатам и выполнив все элементарные преобразования, получим канонический вид (параллельный перенос) кривой 2-го порядка в собственном базисе оператора квадратичной формы.
Пример. Привести кривую второго порядка к каноническому виду.
Решение.1)Найдем собственные числа
,
, , следовательно
2) Найдем собственные векторы соответствующие собственным значениям и перейдем к новому ортонормированному базису:
а) , соответствующий. ,
б) , соответствующий. ,
3) Составим матрицу перехода Q:
.
Перепишем старые координаты через новые. X=QX’
,
Перепишем уравнение кривой второго порядка в новых координатах.
,
,
выполним параллельный перенос и получим следующее уравнение ,
- уравнение гиперболы.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 2082;