Матричная запись линейных операторов.

Фиксируем в линейном пространстве базис пусть – произвольный элемент и (разложение по базису ).

Пусть – линейный оператор . Тогда имеем ,

…, . . Пусть образы базисных векторов, тогда , т. е. , j=1,…,n, .

Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе , это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов . Причем единственный линейный оператор , матрицей которого в заданном базисе будет матрица .

, - оператор.

При этом соотношения , , с одной стороны связывают образ с координатами прообраза , с другой стороны, описывают действие линейного оператора заданного матрицей A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.

Пусть задан базис в пространстве и - новый базис, а U – матрица перехода от базиса , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением: , т. к. , и , .

Определение. Число λ называется собственным значением если существует ненулевой вектор такой, что , при этом называется собственным вектором оператора . Т.к. , , тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы . Многочлен называется характеристическим многочленом .

Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .

Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числу необходимо решить систему .