Матричная запись линейных операторов.
Фиксируем в линейном пространстве базис
пусть
– произвольный элемент
и
(разложение
по базису
).
Пусть – линейный оператор
. Тогда имеем
,
…, .
. Пусть
образы базисных векторов, тогда
, т. е.
, j=1,…,n,
.
Рассмотрим матрицу линейного оператора в заданном базисе
, это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов
. Причем единственный линейный оператор
, матрицей которого в заданном базисе
будет матрица
.
,
- оператор.
При этом соотношения ,
, с одной стороны связывают образ
с координатами прообраза
, с другой стороны, описывают действие линейного оператора
заданного матрицей A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.
Пусть задан базис в пространстве
и
- новый базис, а U – матрица перехода от базиса
, тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением:
, т. к.
,
и
,
.
Определение. Число λ называется собственным значением если существует ненулевой вектор
такой, что
, при этом
называется собственным вектором оператора
. Т.к.
,
, тогда чтобы однородная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы
. Многочлен
называется характеристическим многочленом
.
Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение .
Чтобы найти собственный вектор , соответствующий собственному числу
необходимо решить систему
.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1907;