Кривые второго порядка. Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.
Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1).
(17.1)
если центр перенесен в точку с координатами , то
(17.2)
Рис. 17.1
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .
Выведем каноническое уравнение эллипса. Возьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу. Отрезки , называются фокальными радиусами точки и обозначаются (Рис17.2). Их постоянную сумму принято обозначать через . Поэтому
(17.3)
Рис. 17.2
Расстояние между фокусами обозначим за и будем называть фокальным расстоянием. При этом , . Т.к. , то и следовательно
(17.4)
Для вывода уравнения выразим фокальные радиусы через координаты точек :
Подставим полученные выражения в формулу (17.3)
и избавимся от корней
возводим в квадрат
Сокращаем на , раскрываем скобки
сокращаем на , переносим корень влево
еще раз в квадрат: раскрываем и группируем
;
.
В полученном выражении введем обозначение
(17.5)
Получим каноническое уравнение эллипса или
(17.6)
Где - большая полуось эллипса, - малая полуось эллипса
Из соотношения (17.5) получим формулу для фокального расстояния эллипса:
(17.7)
Если центр перенесен в точку с координатами , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:
(17.8)
Определение. Отношение расстояний между фокусами эллипса и длиной его большой оси. Называется эксцентриситетом и обозначается
(17.9)
Т.к. для эллипса , то
Сократим равенство (17.9) на и возведя в квадрат выполним следующие преобразования:
,
или .
Из последних равенств видно, что эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и наоборот, следовательно, чем больше эксцентриситет, тем более вытянута форма эллипса, при уменьшении эксцентриситета – эллипс стягивается в окружность.
Для произвольной точки эллипса , .
Система определяет параметрическое уравнение эллипса.
В полярной системе координат уравнение эллипса имеет вид
Для эллипса вводят две прямые называемые директрисами, их канонический вид: , .
Определение. Эллипс - геометрическое место точек, для которых отношение фокального радиуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса (рис. 17.3):
(17.10)
|
Определение. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости , называемых фокусами, есть величина постоянная равная .
Любая точка принадлежит гиперболе, если разность между ее фокальными радиусами равна (рис.17.3).
(17.11)
Рис.17.4
поступая по аналогии с выводом уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы
(17.12)
Где , - действительная ось, - мнимая ось, - фокальное расстояние.
Расстояние до фокуса гиперболы будет определятся равенством: (17.13)
Прямые (17.14)
называются асимптотами гиперболы.
Если координаты центра смещены в точку , то каноническое уравнение гиперболы имеет вид (17.15) Прямоугольник, построенный на величинах и – называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 17.5).
Эксцентриситет гиперболы определяется как отношение фокального расстояния к действительной оси
, или
т.е. эксцентриситет гиперболы характеризует форму основного прямоугольника, и следовательно форму гиперболы.
Определение. Две прямые, ортогональные той оси гиперболы, которая ее пересекают и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него называются директрисами гиперболы. Обозначаются (рис.17.5).
Рис.17.5
Определение. Парабола – это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки , называемой фокусом равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой , называемой директрисой (рис. 17.6):
(17.16)
Расстояние – называется фокальным расстоянием параболы, а параметр - параметром параболы. Т.к. для параболы , то .
Выведем уравнению параболы, используя формулу (17.16) и то обстоятельство, что , .
Рис. 17.6
, .
Приравниваем и возводим в квадрат:
Избавляемся от корня повторным возведением в квадрат
Приходим к каноническому уравнению параболы
(17.17)
Если вершина параболы смещена в точку , то каноническое уравнение имеет вид:
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1015;