Матричный метод решения СЛАУ.
Если определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то ее решение определяется формулой:
(15.3)
Где - обратная к основной матрице системы, вычисляемая по формуле .
Совместность однородной и неоднородной СЛАУ.
Рассмотрим однородную СЛАУ
система всегда имеет хотя бы одно решение, например, тривиальное решение .
Когда однородная СЛАУ имеет решения отличные от нулевого?
Заметим, что существует нетривиальное решение ~ линейной зависимости столбцов матрицы однородной СЛАУ (по определению линейной зависимости это означает существует что является уравнениями системы), но по теореме о базисном миноре линейная зависимость имеет место тогда и только тогда когда порядок базисного минора меньше числа её столбцов. Отсюда теорема.
Теорема. Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа её столбцов.
Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю.
Решение СЛАУ размерности
Рассмотрим однородную СЛАУ:
(15.4)
Данная система всегда имеет хотя бы одно решение, например тривиальное .
Теорема: Однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы меньше числа её неизвестных.
Следствие: Квадратная однородная СЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой системы равен нулю .
Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений: , называемых фундаментальной системой решений.
Решения являются линейно независимыми, если ранг матрицы составленной из координатных строк этих векторов равен числу этих решений.
Теорема: (о структуре решений однородных СЛАУ). Пусть произвольная фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Тогда любое решение системы представляет собой линейную комбинацию решений:
(15.5)
Здесь общее решение однородной системы, - произвольные постоянные, а фундаментальная система решений, (частные решения однородной системы), найденная при условии, что свободные неизвестные по очереди приравниваются , а остальные при этом равны . Неизвестные называются базисными неизвестными.
Решение неоднородной системы в общем случае определяется следующей теоремой:
Теорема: (о структуре решения неоднородной СЛАУ): Общее решение неоднородной СЛАУ определяется формулой:
(15.6)
где - общее решение соответствующей однородной системы, а - частное решение неоднородной системы.
Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.
Дата добавления: 2015-08-26; просмотров: 1651;