Обратная матрица, матричный метод решения системы. Общее решение системы.

Цель: изучить понятие обратной матрицы, ее свойства и метод вычисления. Изучить матричный метод решения СЛАУ.

Определение. Квадратная матрица называется обратной к матрице , если

(15.1)

, - единичная матрица. - является единственной для .

Определение.Матрица - называется неособенной (невырожденной или несингулярной) матрицей, если . В противном случае - особенная (вырожденная или сингулярная).

Теорема.Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Доказательство. Рассмотрим матрицу , . Введем в рассмотрение матрицу , называемую союзной матрицей элементами которой служат алгебраические дополнения матрицы . Рассмотрим матрицу , вычислим произведение :

,

где .

Аналогично, .

Следовательно, - по определению, таким образом,

(15.2)

Пример.Вычислить обратную матрицу

Решение.

следовательно, обратная матрица существует. Вычисляем соответствующие алгебраические дополнения

, ,

Итак, .