Евклидово пространство. Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем

Введенные нами линейные пространства существенно отличаются от множества векторов обычного геометрического тем, что в линейном пространстве не определены понятия длины вектора и угла между ними.

Введем понятия длины и угла с помощью скалярного произведения.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения: любым двум векторам , сопоставлено вещественное число обозначаемое и удолетворяет условиям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , если .

Следствием из этих аксиом являются:

1) , ;

2) Последовательно применяя аксиомы легко доказать, что для любых векторов и чисел

; .

3) Каков бы ни был вектор , имеем . Действительно, положим Назовем длиной вектора и обозначим число

Углом между векторами , назовем каждое число , удовлетворяющее условию: .

В силу аксиомы длина вектора вещественное неотрицательное число.

С определением величины угла дело обстоит сложнее. Нам предстоит доказать, что выражение в правой части равенства не превосходит единицы т.к. максимальное значение , то отсюда .

Если известно, что , тогда - неравенство Коши-Буняковсного.

Пусть , - любые векторы принадлежащие . Для любых имеем

. Положим , , то получим , откуда и вытекает требуемое неравенство треугольника

.

Векторы будем называть ортогональными, если для любых , .