Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства

Пусть и - два произвольных базиса -мерного пространства R, тогда может быть разложен по базису , т. е.

или ,

Умножим каждое уравнение системы на алгебраические дополнения элементов j-го столбца определителя и сложим все уравнения, в результате получаем:

, , для ,

, где коэффициенты представляют матрицу равную , т.е. переход от одного к другому базису осуществляется с помощью обратной матрицы , если .

Утверждение. Если переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной матрицы , то переход от координат произведения элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы .