Доказательство. Пусть - всех корней - ой степени из единицы

Пусть - всех корней - ой степени из единицы. Очевидно, что . Тогда замкнуто относительно умножения.

Операция умножения во множестве ассоциативна; - нейтральный элемент в ; .

Таким образом, группа, в которой элемент является порождающим, так как , следовательно, - мультипликативная циклическая группа.

что и требовалось доказать.

Определение. Комплексное число называется корнем - ой степени из ненулевого комплексного числа , где , если .

Вычислим все корни - ой степени из комплексного числа . Пусть , . Зная, что , составим систему: . Тогда и любой корень - ой степени из комплексного числа будет иметь вид: .

Покажем, что существует ровно различных корней - ой степени из комплексного числа . Для этого поделим на с остатком, получим , где . Следовательно,

. Поскольку может принимать только одно из значений , то и различных корней - ой степени из комплексного числа также будет ровно штук, причем , где .

Замечание.Для каждого справедливо

.

Следствие.Все корни - ой степени из ненулевого комплексного числа являются результатом умножения одного из этих корней на корни - ой степени из единицы.

Пример. Найти все корни 3 – ей степени из -8.

Очевидно, что -2 – один из искомых корней. Тогда, согласно вышеприведенному следствию,

,

,

.

Теорема 5.Полекомплексных чисел не является упорядоченным.