Тело кватернионов.

Открыл Уильям Роуан Гамильтон (ирландец) 1805-1865.

Определение. Ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый элемент, отличный от нуля, обратим, называется телом.

Рассмотрим множество матриц:

,

где - множество квадратных матриц с коэффициентами из поля комплексных чисел.

Теорема 1. тело.

Доказательство.

Покажем, что - подкольцо кольца , используя признак подкольца:

.

- кольцо с единицей (?)

Элемент является нейтральным элементом по сложению, поскольку .

Проверим, что любой ненулевой элемент кольца обратим:

или . . Из последнего следует, что любая ненулевая матрица невырожденная, следовательно, она обратима в кольце . Найдем обратную:

.

что и требовалось доказать.

Определение. Тело назовем телом кватернионов, а его элементы кватернионами.

Теорема 2. Поле комплексных чисел изоморфно вкладывается в тело кватернионов.

Доказательство.

 

Рассмотрим соответствие , заданное по правилу .

Докажем, что - изоморфизм.

- отображение (?)

Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого комплексного числа можно построить матрицу .

Однозначность: (?)

.

- биекция (?)

Инъективность: (?)

.

Сюръективность: (?)

Возьмем , поскольку . В силу произвольности сюръективность доказана.

- гомоморфизм (?)

.

что и требовалось доказать.

 

Замечание. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление кватерниона с комплексным числом . Ввиду этого отождествления получим (подмножество, более того, подтело).

 

 








Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 739; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.