Алгебраическая форма кватернионов.
Определение. Пусть , где , . Тогда
- алгебраическая форма кватерниона, где и , , . Таким образом, каждому кватерниону можно поставить в соответствие упорядоченный набор их 4-х элементов:
Нетрудно заметить следующее:
.
Более того, если рассматривать тело как векторное пространство над полем , то каждый кватернион есть вектор с координатами . Тогда следующие кватернионы образуют базис:
1=(1,0,0,0) - действительная единица
i=(0,1,0,0)
j=(0,0,1,0)
k=(0,0,1,0).
Определение. Кватернионы i, j, k называются мнимыми кватернионами тела кватернионов.
Замечание. Тело кватернионов не является полем, поскольку не коммутативно, что и подтверждает следующая таблица умножения базисных кватернионов:
1\2 | i | j | k | |
i | j | k | ||
i | i | -1 | k | -j |
j | j | -k | -1 | i |
k | k | j | -i | -1 |
Для того, чтобы перемножить два кватерниона в алгебраической форме, необходимо воспользоваться правилом умножения сумм, учитывая некоммутативность , используя таблицу умножения базисных кватернионов, а затем привести подобные.
Определение. Сопряженным к кватерниону называется кватернион .
Следствие. .
Определение. Нормой кватерниона называется .
Следствие 1. , где , .
Следствие 2. Если , то .
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1010;