Доказательство. Пусть - конечномерная ассоциативная алгебра с делением над полем действительных чисел и

Пусть - конечномерная ассоциативная алгебра с делением над полем действительных чисел и . Возможны случаи:

1. . Тогда .

2. . Тогда в алгебре есть хотя бы один элемент, который не является действительным числом. Обозначим этот элемент через . В существует неприводимый многочлен , корнем которого является . Поскольку наивысшая степень неприводимого многочлена с действительными коэффициентами над полнм действительных чисел равна 2 и элемент , а, значит, не может быть корнем ни непостоянного многочлена, ни многочлена первой степени, то .

Пусть . Так как , то . Выделим полный квадрат в левой части. Получим . Поскольку многочлен неприводим, то .

Рассмотрим число , причем , . Тогда в алгебре система является линейно независимой, а, значит, в случае .

3. . Тогда в алгебре найдется еще один элемент такой, что система линейно независима и - корень подходящего неприводимого многочлена второй степени. Аналогично пункту 2 формируется элемент , который также удовлетворяет условиям и .

Поскольку система линейно независима.

Рассмотрим пару элементов и . Оба элемента не принадлежат полю действительных чисел, а, значит, является корнями неприводимых над полем действительных чисел многочленов с действительными коэффициентами и соответственно. Тогда

Заменив и на -1 и сложив уравнения системы, получим

.

Поскольку система линейно независима, то и . Возвращаясь к исходному соотношению, получим .

Введем число . Рассмотрим число

Зная, что , введем число . Поскольку система линейно независима. Вычислим . Таким образом получается, что нашлась линейно независимая система такая, что и .

Обозначим через . Покажем, что система линейно независима. Поскольку ранее установлена линейная независимость , то остается показать, что линейно не выражается через . Предположим, что , где .

, так как . Тогда

, где . Последнее противоречит линейной независимости элементов , следовательно, линейно не выражается через и система линейно независима.

Нетрудно проверяется, что элементы относительно умножения образуют следующую таблицу:

Например, .

Таким образом, в случае .

4. . Тогда существует элемент .

Предположим, что линейно не выражается через , т.е. - линейно независима. Пусть .

Найдем произведение

. Умножим последнее равенство на . Получим , где , что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, система линейно зависима.

Таким образом, не может быть больше 4, а, значит, размерности всех конечномерных алгебр над полем действительных чисел совпадают с одним из чисел 1, 2, 4.

что и требовалось доказать.