Дуальные и двойные числа
(ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
Опишем все ассоциативные алгебры над полем размерности 2.
Нетрудно устанавливается, что множества и образуют ассоциативные алгебры, которые договоримся называть алгебрам двойных чисел и дуальных чисел соответственно.
Теорема. Любая коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем действительных чисел размерности 2 изоморфна одной из из алгебр , , .
Доказательство
Пусть , где - коммутативная ассоциативная алгебра с единицей . Рассмотрим . Нетрудно устанавливается, что изоморфно полю . Тогда, с точностью до изоморфизма, можно утверждать, что ( подполе поля А). Последнее означает, что в найдется элемент такой, что система образует базис алгебры над полем .
для некоторых .
. Возможны случаи:
1. . Существует положительное действительное число такое, что
Тогда - система порождающих в . Покажем, что - базис в . Предположим, что . Таким образом .
2. . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .
3. . Существует положительное действительное число такое, что
Тогда - система порождающих в . Аналогично устанавливается, что - базис в . Следовательно, .
Замечание. Наличие единицы позволяет включить в , а ассоциативность и коммутативность позволяют выполнять действия, указанные выше.
что и требовалось доказать.
Теорема. Алгебры , не являются полями.
Доказательство
Предположим, что элемент обратим. Тогда существует элемент такой, что . Последнее противоречит линейной независимости элементов . Следовательно, предположение об обратимости элемента оказывается ложным, а, значит, не является полем.
Аналогично устанавливается необратимость элемента . Тогда также не является полем.
что и требовалось доказать.
Теорема. Алгебры , существуют.
Доказательство
. Тогда , . Таким
образом .
. Тогда , . Таким
образом .
что и требовалось доказать.
Замечание. Алгебры , и являются подалгебрами алгебры .
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 992;