Доказательство. Покажем, что - линейное пространство над полем .

Покажем, что - линейное пространство над полем .

Сложение в коммутативно и ассоциативно в силу коммутативности и ассоциативности сложения в .

Нейтральный элемент по сложению в имеет вид: .

Противоположным к является элемент .

Таким образом - аддитивная Абелева группа, в которой для и однозначно определено умножение на скаляр , удовлетворяющее следующим аксиомам:

для любых и .

Согласно определению, - линейное пространство над полем .

По теореме о последовательном расширении полей, имеем

.

что и требовалось доказать.

Определим в умножение по следующему правилу:

, где - кватернионы, сопряженные к , .

Теорема. -восьмерная алгебра с делением над полем .