Решение. Подставим данные точки в формулу (17):

Подставим данные точки в формулу (17):

Преобразуем полученное выражение.

.

4. Степенная функция , z ≥ 2.

– аналитическая функция на всей плоскости Гаусса: кроме z = 0. Следовательно, отображение, задаваемое функцией конформно всюду, кроме начала координат.

Запишем комплексное число z тригонометрической форме . Тогда (формула Муавра).

Рассмотрим луч z = At, где выходящий из начала координат на плоскости (z) под углом ( ) к оси (Оx). Следовательно, образом этого луча на плоскости ( ) будет луч , выходящий из начала координат под углом к оси ; .

Если луч z = At будет двигаться против часовой стрелки вокруг т. О по плоскости (z) , то луч будет двигаться с угловой скоростью в n раз большей по плоскости ( ). Следовательно, когда луч z = At пройдет угловой сектор , луч пройдет всю плоскость ( ): (рис. 27).

Вывод: сектор раствором плоскости (z) конформно отображается на всю плоскость ( ).

Точки плоскости (z), не лежащие внутри сектора, будут отображаться в точки плоскости ( ), уже занятые отображениями точек рассматриваемого сектора, но тогда нарушится взаимная однозначность отображения. Чтобы такого не происходило, Риман предложил, что эти точки будут отображаться на новую плоскость ( , лежащую над плоскостью ( ), т.е. Риман предложил рассматривать n – слойную поверхность для данного отображения: луч от оси обходит первый слой поверхности, переходит на второй и т.д., а пройдя все n слоев, переходит на первый. (Это можно рассмотреть лишь в абстракции).

Определение 41. Функцию, осуществляющую такое отображение, называют многозначной, а n – слойную поверхность – римановой. Примеры многозначных функций: Ln .

Определение 42.Однозначная функция , аналитическая в области , называется однозначной ветвью многозначной функции , если для любой точки значения , принадлежат множеству значений функции в точке .

Определение 43.Точкаz комплексной плоскости, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой ветвления рассматриваемой многозначной функции.

В приведенном выше примере точками, общими для всех слоев, или точками ветвления римановой поверхности являются .

Геометрический смысл отображения: лучи, выходящие из начала координат, отображаются в лучи; окружность с центром в начале координат О и радиусом R отображается в спираль (проекцией которой на основную плоскость ( ) является окружность радиуса ), переходящую постепенно из одного листа поверхности Римана в следующий и из верхнего вновь переходящую в нижний.

Пример 33. Найти образы семейства прямых, параллельных оси (Оу) z = C+it при отображении . С – постоянная, t – переменный действительный параметр.