Определение показателей генеральной совокупности

При решении задачи на определение показателей генеральной совокупности предполагается, что генеральная совокупность со­ответствует нормальному закону распределения, поэтому может быть полностью отражена показателями средней арифметиче­ской (х_ген) и среднего квадратического отклонения (а_ген).

Средняя арифметическая генеральной совокупности опреде­ляется на основе показателей выборки и может быть отражена следующим образом:

*выб - mt < х_ген < х_выб + mt,

где х_ген — средняя арифметическая генеральной совокупности; *выб — средняя арифметическая выборки; т — ошибка репрезен­тативности (стандартная ошибка); t — критерий достоверности (критерий надежности). Показатель надежности /определяется по таблице приложения 4 по числу степеней свободы k, равному числу элементов выборки минус единица, т. е. k = п - 1. Для определения доверительных границ х_ген необходимо провести расчеты в соот­ветствии с формулами (2.14).„(2.17).

Величины х_выб - mt и Зс_выб + mt называются нижней и верхней доверительными границами.

Величины т и t следует объяснить, исходя из основной идеи выборочного метода: если корректно составить выборку, то ее по­казатели правильно представляют генеральную совокупность. Так, в частности, из одной генеральной совокупности может быть из­брано множество выборок. Установлено, что средние показатели этих выборок разнятся между собой практически на одну и ту же величину. Кроме того, средние показатели генеральной совокуп­ности отличаются от выборочных на эту же величину т.

Ошибка репрезентативности (т) указывает на различие между генеральной и выборочной средней совокупностью. Критерий (t) — это показатель вероятности (надежности), согласно которому мож­но утверждать, что различие между средними показателями гене­ральной и выборочной совокупности не превышает величину ошибки т.

Отметим, что в практике спортивных исследований поступают таким образом: находят заранее определенную надежность, при которой исследователь удовлетворен точностью расчета. Обычно это надежность Р = 0,95.

Поскольку вероятность не может быть больше Р= 1,0, приня­то использовать не только понятие надежности Р, но и величину а = 1 - Р, показывающую уровень значимости. .

Таким образом, практика спортивных расчетов основана на надежности Р> 0,95 при уровне значимости а < 0,05. Это означает,

59 что спортивные расчеты, как правило, удовлетворяются точно­стью, при которой на каждые 100 испытаний 5 могут быть неточ­ными.

Ошибка репрезентативности т находится по нижеприведен­ным формулам (2.14)...(2.17).

и = %£. (2.14)

Л/Л

Формула (2.14) применяется в случае, когда число элементов генеральной совокупности неизвестно (N= °°), а число элементов выборки л > 20:

°"выб

т =

(2.15)

Формула (2.15) применяется, когда число элементов генераль-ной совокупности неизвестно (N= °°), а число элементов выбор-ки и < 20:

т -

°выб

(2.16)

Формула (2.16) используется, если выборка велика, т.е. п > > 20, а число элементов N генеральной совокупности известно:

т =

Овыб

(2.17)

Формула (2.17) используется, если выборка мала, т.е. л < < 20, а число элементов генеральной совокупности известно как N.

Для определения доверительных границ среднего квадратиче-ского отклонения генеральной совокупности (а_ген) используют метод сравнения

<W(1 - 9) * °ген JS о-_выб(1 + Ф,

где а_выб — среднее квадратическое отклонение выборки; q — ве­личина, определяемая по таблице приложения 5.

При q < 0 сравнение преобразуется следующим образом:

0<о_ге„<а_выб(1 + д).

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 2.13. Группа спортсменов в количестве 30 человек (л) исследована на величину поглощения кислорода во время дли­тельной работы Xj (л/мин). Испытуемые отобраны из 300 спорт­сменов N той же квалификации.

Оцените средние показатели 300 спортсменов. Исходные дан­ные приведены в табл. 2.29.

Таблица 2.29 Обработка показателей поглощения кислорода 30 спортсменами

« 4,33 = 4,3 л/мин; oLe = ~^ = 0,05 (л/мин)²; jv 30

<*выб = V°>⁰⁵ - °. 22 л/мин.

Характеристика выборки из 30 спортсменов представляет х_выб± ± °выб = (4,3 ± 0,2) л/мин.

Для оценки генеральных показателей определим величину ошибки репрезентативности т. Поскольку в примере 2.13 объем генеральной совокупности N = 300, а выборка состоит из я = 30, т. е. л > 20, для определения ошибки репрезентативности исполь­зуем формулу (2.17):

т =

Показатель t определяем по таблице приложения 4. При на­дежности Р = 0,95 (уровень значимости а = 0,05) и при числе степеней свободы Л = л - 1 = 30 - 1 = 29, / = 2,05.

Для оценки среднего квадратического отклонения определяем q по таблице приложения 5, где Р = 0,95 (а = 0,05); я = 30; q = 0,28.

Оценка генеральных показателей следующая:

-mt< х_ген <

mt;

4,3 - 0,03 • 2,05 < 5с_ген < 4,3 + 0,03 • 2,05;

4,3 - 0,06 < Зс_ген < 4,3 + 0,06;

4,24 < х_ген < 4,36;

0,2(1 - 0,28) <а_ген<; 0,2(1 +0,28);

61 0,2 • 0,72 <а_ген< 0,2 -1,28; 0,14<а_ген<0,26.

Таким образом, группа испытуемых из 30 спортсменов, харак­теризуемая как Зс_выб ± а_выб = (4,3 ± 0,2) л/мин, позволяет оценить генеральную совокупность N из 300 спортсменов как

4,24 < х_ге„ < 4,36; 0,14<а_ген<0,26.

Доверительные границы можно определить в случае, если оцен­ку средних показателей генеральной совокупности требуется вы­разить одним числом, т.е.

4,24 + 4,36

. . . = 4, 3 л/мин;

0,14 + 0,26 _Л . ,

ен = - - - = 0, 2 Л/

,

МИН.

В этом случае показатели выборки и генеральной совокупности совпали, что свидетельствует о корректном подборе выборки.

В целом при характеристике генеральной совокупности обычно указывают на величины х_ген; т, т. е. х_ген = 4,3 л/мин, т = 0,03 л/мин.

Ошибка репрезентативности показывает, насколько х_ген может отличаться от Зс_выб при надежности Р = 0,95 (а = 0,05).

Другими словами, анализируя полученные данные, можно сде­лать вывод, что 30 испытуемых имеют среднюю величину погло­щения кислорода во время длительной работы, равную 4,3 л/мин. Спортсмены в количестве 300 человек, из числа которых избраны 30 испытуемых, также покажут среднюю величину поглощения кислорода во время длительной работы, равную 4,3 л/мин. Однако утверждая это, мы ошибаемся на 0,03 л/мин с вероятностью 0,95.