Запасы устойчивости по фазе и усилению. Устойчивость САУ с линией задержки.

В годографе ККП объединены воедино амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики, что не всегда удобно.

Для определения количественных характеристик устойчивости замкнутой системы удобнее использовать отдельно графики АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Количественными характеристиками устойчивости являются запасы устойчивости по фазе и усилению.

Запас устойчивости замкнутой системы по фазе Dj определяется по формуле

,

где - значение ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза w_СР, на которой АЧХ разомкнутой системы .

Для устойчивой системы Dj>0, желательно, чтобы радиан.

Запас устойчивости по усилению a определяется по формуле

где W_Р(w_КР) - значение АЧХ разомкнутой системы на критической частоте w_КР, на которой j_Р(w_КР) = ±p.

Для устойчивой системы a>1, желательно, чтобы a ³ 1,5¸2.

Запас устойчивости по усилению для ЛАЧХ определяется по формуле

a_[дБ] = - 20lgW_Р(w_КР). В устойчивой системе a_[дБ] > 0 дБ.

Отметим, что в окрестностях частот w_СР и w_П график j_Р(w) изменяется мало, поэтому j_Р(w_СР)=j_Р(w_П). Тогда с учетом выражение можно переписать в виде

где Dj - запас устойчивости по фазе.

Тогда с учетом выражение перепишем в виде

а выражение с учетом будет выглядеть так

Выражение также дает количественную характеристику устойчивости замкнутой системы. При Dj®0 показатель колебательности системы М®¥, что свидетельствует о переходе системы из устойчивой в неустойчивую.

Устойчивость замкнутой системы с линией задержки

Возникает вопрос: как изменяются количественные характеристики устойчивости замкнутой системы, если в нее дополнительно включить линию задержки?

Рис.42 Схема замкнутой системы с линией задержки

Передаточная функция линии задержки , ее АЧХ W(w)=1, a ФЧХ j(w) = - wt, где t - время задержки. При последовательном соединении звеньев АЧХ перемножаются, а ФЧХ суммируются. Следовательно АЧХ разомкнутой системы W_Р(w) от включения линии задержки не изменяется, а ФЧХ изменяется на величину -wt.

На рис.43 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы без линии задержки и с линией задержки. Из этого рисунка видно, что при времени задержки замкнутая система из устойчивой превратится в неустойчивую. При система останется устойчивой, но показатель колебательности в ней возрастет.

Рис.43 Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы без линии задержки и с линией задержки