Алгебраические критерии устойчивости

К алгебраическим критериям устойчивости относят те, которые позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам уравнения (5.2). необходимым условием устойчивости линейной системы (5.1) является положительность коэффициентов характеристического уравнения (5.2), т.е.

. (5.3)

Докажем этот критерий. Пусть уравнение (5.2) имеет n корней , тогда полином можно пo теореме Безу представить в виде . Если , то произведение n сомножителей всегда даст полином n-й степени с положительными коэффициентами, и с учетом получим (5.3).

Критерий является лишь необходимым, т.е. если среди есть отрицательные коэффициенты, то система неустойчива; если все положительны, то система может быть как устойчивой, так и неустойчивой. В этом последнем случае требуется дальнейшее исследование.

Рассмотрим критерий, дающий необходимые и достаточные условия устойчивости, предложенные немецким ученым А. Гурвицем в 1895 году. Предварительно из коэффициентов уравнения (5.2) сформируем матрицу Гурвица:

(5.4)

Алгоритм ее формирования следующий. Сначала по главной диагонали слева направо выписываем коэффициенты . Далее столбцы вверх от главной диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз – с убывающими индексами. Коэффициенты с индексами больше
n и меньше нуля заменяются нулями. Последний столбец матрицы имеет все нулевые коэффициенты, кроме последнего . Обозначим через главные определители матрицы Гурвица, которые выделены в (5.4) штриховыми
линиями: , где – определитель матрицы Гурвица.

Критepий Гуpвица. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является при положительность всех определителей Гурвица:

. (5.5)

Для систем до 4-го порядка включительно, раскрывая определители Гурвица, можно получить необходимые и достаточные условия устойчивости:

(5.6)

(5.7)

; (5.8)

(5.9)

Из (5.6), (5.7) следует, что для системы первого и второго порядка необходимые условия совпадают с необходимыми и достаточными, а при n = 3 и 4 кроме необходимых условий следует соблюдать дополнительное неравенство. При n = 5 и 6 появляются два дополнительных неравенства, при n = 7 и 8 – три
и т.д. при аналитических исследованиях критерий Гурвица наиболее удобен для систем, порядок которых .

С помощью критерия Гурвица можно определить границы устойчивости. Если и все определители Гурвица , кроме последнего, больше нуля, то нарушение условий устойчивости будет при , откуда при получаем границу устойчивости апериодического типа (появляется один нулевой корень), а при границу устойчивости колебательного типа (появляются два комплексно-сопряженных корня). При этом все остальные корни являются левыми. Граница устойчивости, соответствующая бесконечному корню, будет .

Одним из частных случаев критерия Гурвица является критерий Льенара–Шипара (1914), по которому для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

или

,

т.е. при соблюдении необходимых условий устойчивости требуется положительность четных или нечетных определителей Гурвица.

Вторым распространенным алгебраическим критерием устойчивости, дающим необходимые и достаточные условия устойчивости, является критерий Рауса–Гурвица. Этот критерий более удобен при анализе устойчивости с помощью ПЭВМ.

На первом этапе составляется таблица Рауса, элементы которой образуются из коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы , в которой .

Таблица Рауса:

(5.10)

Первые две строки состоят из коэффициентов .

Коэффициенты последующих строк вычисляются так:

; ; …

и т.д.

Левый столбец записывается для наглядности.

По критерию Рауса–Гурвица система устойчива, если при положительны все элементы первого столбца таблицы ( , , , …).

Число правых корней в случае неустойчивой САУ равно числу перемен знака элементов первого столбца. Если элемент какой-то строки первого столбца равен нулю, то САУ либо неустойчива, либо находится на границе устойчивости [6].

Пример 5.1. Рассмотрим замкнутую систему управления, у которой передаточная функция разомкнутой системы W(s) имеет порядок не выше второго ( ) и определяется одним из перечисленных выражений:

, , , , .

Характеристическое уравнение замкнутой системы для соответствующей разомкнутой будет иметь следующий вид: , , , . Если параметры , то в соответствии с (5.6), (5.7) замкнутая система будет асимптотически устойчивой для всех передаточных функций, кроме . в этом случае замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, так как характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни (коэффициент и условие (5.7) не выполняется).

Пример 5.2. Пусть передаточная функция разомкнутой системы

, а .

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет , из которого следует, что при ряд коэффициентов характеристического уравнения (при ), и (при ) и т.д. равен нулю. В этом случае не выполняется необходимое условие устойчивости (5.3) и система ни при таких значениях параметров K и не может быть асимптотически устойчивой. Такой класс систем называют стpуктуpно нeустойчивыми.

Пример 5.3. Передаточная функция разомкнутой системы задана в
виде . Характеристическое уравнение будет . Используя (5.8), найдем условие устойчивости системы в виде , , , , из которого следуют неравенства , , , .

Таким образом, при заданных и максимальное значение коэффициента усиления ограничено и увеличение приведет к потери устойчивости. Это свойство, как будет показано дальше, является весьма характерным для систем автоматического управления и в общем случае. Система будет находиться на границе устойчивости, если выполняется одно из соотношений: , , , .