Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста – это частотный критерий, предложенный в 1932 г. Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы управления по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы в виде , где L(s) – полином степени n; N(s) – полином степени m, . Тогда ее АФЧХ будет . Составим вспомогательную функцию , где D(s) – характеристический полином замкнутой системы, степень которого будет n.

Предположим, что характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет l правых корней и левых корней. Тогда приращение аргумента функции при изменении oт до будет . Если система устойчива в замкнутом состоянии, то характеристическое уравнение замкнутой системы имеет n левых корней и приращение аргумента будет paвнo . Найдем приращение аргумента функции при изменении oт до , которое будет в этом случае равно

. (5.13)

В случае, если передаточная функция соответствует статической системе (соответствие астатической системе рассмотрим ниже), то при АФЧХ при изменении от до всегда образует замкнутую кривую. Соответственно в комплексной плоскости также всегда образует замкнутую кривую. Таким образом, условие (5.13) для замкнутой кривой соответствует тому, что вектор при изменении от до должен в положительном направлении обойти (охватить) начало координат
l раз. Из связи для АФЧХ это соответствует охвату точки с координатами (–1, j0) на комплексной плоскости l раз годографом . На основании изложенного сформулируем критерий.

Кpитepий Hайквиста. Если разомкнутая система автоматического управления имеет l правых корней, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от до охватывала точку (–1, j0) на комплексной плоскости в положительном направлении l раз.

Частный случай критерия Найквиста относится к системе, устойчивой в разомкнутом состоянии (l = 0). При этом годограф не должен охватывать точку (–1, j0).

Так как при график является зеркальным отображением относительно действительной оси графика при , то обычно достаточно построить для . При этом в формулировке критерия полагают охват точки (–1, j0) раз.

На рис. 5.4, а, б представлены графики , в предположении
l = 2 для случая устойчивой в замкнутом состоянии системы.

Из изложенного следует, что при корректном применении критерия устойчивости Найквиста следует сначала исследовать устойчивость разомкнутой системы и знать число правых корней ее характеристического уравнения. На практике обычно это нетрудно сделать по виду передаточной функции , если она представлена в виде произведения передаточных функций отдельных звеньев.

Рис. 5.4

В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется, однако при этом возникает проблема понятия охвата и неохвата точки (–1, j0), так как при годограф уходит в бесконечность и кривая не является замкнутой. В этом случае АФЧХ дополняется дугой бесконечного радиуса по часовой стрелке и после этого проверяется выполнение условия критерия Найквиста. Изображенная на рис. 5.5 система устойчива.

Рис. 5.5

Для нормального функционирования система управления должна обладать и некоторыми запасами устойчивости, т.е. при изменении параметров системы в процессе работы свойство устойчивости должно сохраняться. Вполне очевидно, что чем дальше находится кривая от точки , тем система будет находиться дальше от границы устойчивости. Числовые величины, характеризующие это свойство, носят название запасов устойчивости и могут быть введены различными способами.

На рис. 5.6 представлена АФЧХ разомкнутой системы для устойчивой замкнутой системы.

Рис. 5.6

3апас устойчивости по фазe определяется как величина угла , где –значение фазы при , а частота среза – это значение частоты, при которой . Из рис. 5.6 видно, что точка В получается пересечением и окружности единичного радиуса (штриховая линия). Запас устойчивости по амплитуде – это величина отрезка оси абсцисс между критической точкой и точкой С пересечения c осью абсцисс

(там, где ). Очевидно, в данном случае величина всегда меньше единицы.

Если характеристика имеет более сложные очертания (так называемая клювообразная характеристика представлена на рис. 5.7), то запас по амплитуде характеризуют двумя числами , , а запас по фазе определяется обычным образом.

Рис. 5.7

Рассмотрим интерпретацию критерия Найквиста в логарифмической области. Для простоты рассмотрим систему, устойчивую в paзoмкнутом состоянии, для которой АФЧХ разомкнутой системы не должна охватывать точку (–1, j0). Очевидно, «опасным» с точки зрения устойчивости является отрезок действительной оси –1), когда фазовая характеристика равна –π, –3π и т.д. При

этом модуль . Пересечение же отрезка действительной оси (–1, 0) годографом безопасно с точки зрения устойчивости. Если перейти к логарифмическим частотным характеристикам и , то характеристики, приведенные на рис. 5.7, будут соответствовать логарифмическим характеристикам, изображенным на рис. 5.8.

Рис. 5.8

В общем случае критерий Найквиста применительно к логарифмическим характеристикам формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотной характеристикой разомкнутой системы прямых во всех областях, была равна (l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Отметим, что обычно до частоты среза системы . Если система устойчива в разомкнутом состоянии, то l = 0.

При использовании логарифмических характеристик также вводят запасы устойчивости, показанные на рис. 5.8. При запас устойчивости по фазе определяется как , а запас устойчивости по модулю характеризуется величинами отрезков , , выраженными в децибелах. В случае обычных, не клювообразных, характеристик запас устойчивости по модулю характеризуется одной величиной , определяемой на критической частоте , соответствующей –180^o.

На практике величина запасов устойчивости по фазе и модулю обычно колеблется в пределах 30^o…60^o и (6…20) дБ. Величина (6...20) дБ соответствует усилению в (2...10) раз.

Рассмотрим, как в общих чертах влияют параметры и вид АФЧХ разомкнутой системы на устойчивость. Если , то очевидно, что величина коэффициента усиления не влияет на вид фазовой частотной характеристики. Модуль пропорционален величине K. Таким образом, увеличение (уменьшение) величины K будет пропорционально увеличивать (уменьшать) , не изменяя фазового угла годографа вектора в комплексной плоскости. кривая (см. рис. 5.6) будет пропорционально расширяться или сжиматься, и с увеличением K наступит момент, когда охватит точку (–1, j0) и система станет неустойчивой. Это следует и по ЛАЧХ (см. рис. 5.8). Увеличение K поднимает характеристику , приводит к смещению вправо по оси абсцисс и в конечном счете к потере устойчивости.

В случае клювообразных характеристик (см. рис. 5.7, 5.8) возможна потеря устойчивости и при уменьшении общего коэффициента усиления. Увеличение порядка астатизма системы также отрицательно сказывается на устойчивости, так как приводит к увеличению отрицательных фазовых сдвигов.