Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий относится к группе частотных и был предложен в 1938 г. А. Михайловым. Он базируется на известном в теории функции комплексного переменного принципе аргумента. Характеристический полином замкнутой системы представим в виде , где – корни уравнения .

Сделаем замену , тогда . Приращение аргумента вектора при изменении частоты от до будет равно для левого корня и для правого корня (рис. 5.1). Приращение аргумента вектора , имеющего правых и левых корней, будет равно , а при изменении от 0 до – в 2 раза меньше, т.е. .

Рис. 5.1

Из последнего выражения следует, что для устойчивой САУ и . (5.12) Полином D(s) после замены представляет собой комплексное число, действительная и мнимая части которого зависят от частоты : , где , .

Изменяя от нуля до , на комплексной плоскости строится годограф, который называется кpивой Mиxайлова. При он всегда будет находиться на действительной оси в точке , а при значения Х и Y равны или , т.е. годограф будет уходить в бесконечность в каком-либо квадранте комплексной плоскости.

Кpитepий Миxайлова. Для устойчивости линейной системы необходимо
и достаточно, чтобы приращение аргумента функции при изменении
от нуля до равнялось , что означает последовательное прохождение кривой Михайлова n квадрантов против часовой стрелки в комплексной
плоскости.

Обычно критерий Михайлова применяется после проверки необходимого условия устойчивости (5.3).

На рис. 5.2 представлен ряд кривых Михайлова для систем различного порядка.

Кривые 1, 2 соответствуют устойчивым системам при n = 3, 4 соответственно, кривая 3 – неустойчивой системе при , так как нарушена последовательность прохождения квадратов комплексной плоскости.

Рис. 5.2

Рассмотрим определение с помощью кривой Михайлова границ устойчивости. Система будет находиться на границе устойчивости, если чисто мнимая величина будет являться корнем уравнения , т.е. кривая Михайлова должна проходить через начало координат. При этом при имеем апе-

риодическую границу, при – колебательную, соответствует бесконечному корню. При этом следует проверить, чтобы все остальные корни были левыми. Такую проверку можно осуществить, исследуя соответствующий график кривой Михайлова в точке пересечения начала координат. Если малые деформации кривой приводят к устойчивой системе, то это соответствует границе устойчивости.

На рис. 5.3 представлены два годографа, проходящие через начало координат.

Рис. 5.3

Для кривой 1 малые деформации ее в начале координат приведут к устойчивой системе, что соответствует границе устойчивости, а для кривой 2 система при малых деформациях графика все равно будет неустойчивой. Пример 5.4. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид . Характеристический полином замкнутой системы будет и соответственно . При любом

, кривая Михайлова при будет начинаться на действительной оси в точке с координатами (K, j0) и всегда проходить последовательно первый и второй квадранты комплексной области, так как мнимая часть всегда положительна, а действительная с ростом W меняет знак с плюса на минус.

Система при любых K > 0, T > 0 всегда устойчива, что совпадает с результатом примера 5.1.