Рівняння руху твердого тіла

Рух твердого тіла визначається двома рівняннями, рівнянням руху системи (4.13) і рівнянням моментів в -системі (5.12)

, .

Знаючи закони діючих зовнішніх сил, точки їх прикладання та початкові умови, можна за допомогою рівнянь знайти швидкості і положення кожної точки твердого тіла в любий момент часу. Але одержати розв’язок рівнянь в загальному випадку важка задача. Передусім це обумовлено складним зв’язком, яким пов’язаний момент імпульсу з швидкостями окремих точок твердого тіла в -системі. Надалі ми обмежимося розглядом окремих, найпростіших, випадків руху твердого тіла.

Зробимо деякі зауваження, які випливають із вигляду самих рівнянь .

а) Можна переносити сили вздовж напряму їх дії, бо від цього не зміниться ні результуюча сила , ні сумарний момент сил , а тому не зміняться і самі рівняння . Прийомом перенесення сил вздовж напряму дії сил часто користуються.

б) Про можливість введення рівнодіючої сили.

В тих випадках, коли сумарний момент всіх зовнішніх сил перпендикулярний до результуючої сили, тобто , то всі зовнішні сили можна замінити одною силою – рівнодіючою, що буде діяти вздовж певного напрямку. Дійсно, якщо відносно деякої точки сумарний момент , то завжди можна знайти вектор (рис.55) такий, щоб для заданих і виконувалось співвідношення . Зауважимо, що це рівняння визначає не точку прикладання сили, а лінію її дії. Знаючи модулі і , можна знайти плече сили :

.

Таким чином, якщо , то сукупність сил, що діють на різні точки твердого тіла, можна замінити одною рівнодіючою силою – силою, яка рівна результуючій силі і утворює момент , який рівний сумі моментів всіх зовнішніх сил.

Приклад. Розглянемо тверде тіло (стержень) масою в однорідному полі тяжіння (рис.56). На кожну частинку тіла діє сила . Сумарний момент всіх сил тяжіння відносно довільної точки дорівнює

Як бачимо, момент зведено до моменту одної сили. Це означає, що рівнодіюча сил тяжіння проходить через центр мас тіла. Говорять, що рівнодіюча сил тяжіння „прикладена” до центра мас тіла.

Тепер розглянемо 4 окремих випадки руху твердого тіла: 1)обертання навколо нерухомої осі, 2)плоский рух, 3)обертання навколо вільних осей, 4)рух тіла з одною нерухомою точкою (гіроскопи).