Графический метод сложения колебаний
Применим теперь для определения амплитуды световых колебаний в точке Р графический метод сложения колебаний, описанный в разделе 13.2. Для этого мысленно разделим волновую поверхность σ, затягивающую отверстие в экране, на узкие кольца. При помощи формулы (13.7) запишем следующее выражение для колебания dEi, возбуждаемого в точке Р вторичной световой волной, пришедшей в эту точку от кольца под номером i:
dEi = dEm, cos(wt-kRi + aA), (13.15)
где i= 0, 1, 2, ..., N; N - число колец,
dEm=K(θ)( 2πr EA/(a+b)) dRi (13.16)
- амплитуда колебания; Ri - расстояние от внутреннего края i-го кольца до точки Р.
Пусть расстояния Ri от краев колец до точки Р таковы, что их разность для любых двух соседних колец принимает одно и то же значение, т.е. не зависит от номера кольца:
Ri - Ri-1 = dR = const
Отсюда следует, что
Ri = R0 +idR
(13.18)
Из рис. 13.4 видно, что при увеличении радиуса кольца угол θ увеличивается. При этом коэффициент К(θ) уменьшается. Поэтому, как следует из формул (13.16) и (13.17), амплитуда dEmi колебания в точке Р, вызванного вторичной световой волной, пришедшей от узкого кольца, также уменьшается при увеличении его радиуса. Иначе говоря, амплитуда dEmi колебания, возбуждаемого вторичной волной от г-го кольца, уменьшается при увеличении его номера i.
Представим каждое гармоническое колебание dEi вектором dAi,. Длина этого вектора равна амплитуде dEmi колебания, а угол между ним и осью абсцисс - разности фаз ∆φi,о колебаний dEi и dE0, возбуждаемых волнами от i-го кольца и маленького сегмента в центре О волновой поверхности σ. Из формул (13.15) и (13.18) следует, что
∆φi,о = k(Ri-R0)= k i dR (13.19)
Амплитуда А суммарного колебания
E =∑i=1N dEi (13.20)
равна длине вектора А суммы векторов
A =∑i=1N dAi (13.21)
Для того чтобы найти сумму векторов dAi, следует расположить эти векторы следующим образом. Вектор dA0 можно расположить произвольно. Пусть он будет направлен вдоль оси абсцисс. Вектор dA1 расположим так, чтобы его начало совпало с концом вектора dA0. Начало вектора dA2 совместим с концом вектора dA1 и т.д. После того как будут построены таким образом все векторы dAi, построим вектор суммы А, начало которого совпадает с началом вектора dA0, а конец - с концом вектора dAN. Угол между векторами dAi и dAi+1, равен разности фаз ∆φколебаний с номерами i и i + 1. Из (13.19) следует, что
∆φ = к dR, т.е. каждый вектор повернут относительно предыдущего вектора на один и тот же угол. В таком случае, если бы все векторы dAi имели одинаковую длину, они при их последовательном соединении образовали бы правильный многоугольник, который в пределе при dR —>0 и N -> оо переходит
в окружность. Однако вследствие того, что длина dEmi вектора dAi уменьшается при увеличении номера г, эти векторы при сложении образуют ломаную линию, изображенную на рис. 13.5. В пределе при dR —> 0 и N —> оо эта линия превращается в спираль, которая "заканчивается" в точке С на рис. 13.6.
Рис. 13.5. Векторы, представля- Рис. 13.6. Векторы, представля
ющие колебания, пришедшие от ющие колебания, пришедшие от
первых двух зон Френеля многих зон Френеля
Векторы dAi ,которые расположены на рис. 13.6 в точках 0, 1, 2, ... образуют с осью абсцисс углы 0, π, 2π, ... Эти векторы представляют колебания, возбуждаемые вторичными волнами, которые приходят в точку Р от границ зон Френеля. Таким образом, векторы dAi , образующие дугу между точками 0 и 1, соответствуют колебаниям, возбуждаемым вторичными волнами от колец, лежащих внутри первой зоны Френеля; векторы dAi, образующие дугу между точками 1 и 2, соответствуют колебаниям, возбуждаемым волнами от колец, лежащих внутри второй зоны Френеля, и т.д.
а) б) б) г)
Рис. 13.7. Векторы, представляющие колебания, пришедшие: а) от первой половины первой зоны Френеля, б) от второй половины первой зоны Френеля, в) от первой зоны Френеля, г) от второй зоны Френеля
Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичными волнами от первой половины первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7, а вектором, который начинается в точке 0 и заканчивается в точке f. Колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от второй половины первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7, б вектором, который начинается в точке f и заканчивается в точке 1. Колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от всей первой зоны Френеля, представлено на рис. 13.7, е вектором, для которого точка 0 служит началом, а точка 1 - концом. На рис. 13.7, г изображен вектор, который начинается в точке 1 и заканчивается в точке 2. Этот вектор представляет колебание, возбуждаемое в точке Р волнами от второй зоны Френеля. Колебание, возбуждаемое в точке Р вторичными волнами от всей волновой поверхности σ представлено на рис. 13.6 вектором, который начинается в точке 0 и заканчивается в точке С. Обозначим длину этого вектора Ето. Величина Ето есть амплитуда колебания, возбуждаемого в точке Р волнами от всей волновой поверхности. Иначе говоря, такой будет амплитуда колебаний в точке Р, когда экран с отверстием просто отсутствует. Из рис. 13.7, в видно, что амплитуда Ет1 колебания, возбуждаемого в точке Р волнами от первой зоны Френеля, равна 2Ет0.
Положение на векторной диаграмме вектора dAN можно найти по значению угла, который он образует с осью абсцисс. Этот угол равен разности фаз ∆φN,0 между колебаниями, возбуждаемыми в точке Р волнами, приходящими из точки О и от краев отверстия. Согласно формуле (13.19)
∆φN,0 = k(RN - R0)
Соединив точку 0 на векторной диаграмме с. концом вектора с dAN , получим вектор суммы (13.21). Длина этого вектора, выраженная в долях от величины Ето, есть искомая амплитуда Ет колебания в точке Р.
Дата добавления: 2015-06-12; просмотров: 1622;