Дифракционная решетка. Пусть в непрозрачной плоскости вырезаны N параллельных друг дру­гу узких щелей

Пусть в непрозрачной плоскости вырезаны N параллельных друг дру­гу узких щелей. Такая конструкция называется дифракционной решет­кой. Если ширина каждой щели равна а, а расстояние между соседними щелями - b(рис. 13.12), то величину d = а + b называют постоянной решетки, или ее периодом.

Пусть на дифракционную решетку падает нормально плоская гармо­ническая электромагнитная волна (13.22). Чтобы найти распределение амплитуды световых колебаний на экране для наблюдения дифракцион­ной картины, затянем щель воображаемой плоскостью, элементы кото­рой, следуя принципу Гюйгенса, будем рассматривать в качестве источ­ников вторичных волн.

решетка

Р О

Рис. 13.12. Дифракционная решетка

В предыдущем разделе была получена формула для амплитуды колебания, создаваемого в произвольной точке Р вторичными волнами, идущими от одной щели. От каждой из N щелей дифракционной решетки в точку Р приходят вторичные волны. Создаваемые ими колебания имеют вид

E_j = E_m1 cos (ω t - (j - 1) k d sin θ + a₁) , (13.32)

где j = 1, 2,..., N - номер щели. Так как площади поверхностей, которые
272

затягивают каждую из щелей, одинаковы, амплитуды этих колебаний равны одной и той же величине E_m1.

Разность фаз колебаний (13.32) от двух соседних щелей, как видно из рис. 13.12, определяется разностью хода ∆ = d sin θ и равна

∆φ= k d sin θ .

В таком случае векторы А₁, А₂, ..., A_N, представляющие колебания от различных щелей дифракционной решетки, при условии, что начало ка­ждого вектора совмещено с концом предыдущего, образует ломаную ли­нию, точки излома которой лежат на окружности.

Сумма векторов равна нулю, когда конец последнего вектора А_N совпадает с началом первого вектора А₁. При этом амплитуда Е_т суммар­ного колебания также будет равна нулю. Такое возможно, если

∆φ =2 π т₀/N

где т₀ - любое целое число, кроме 0, ±N, ±2 N, ... Подставив выражение (13.33) в условие минимумов (13.34), запишем это условие так:

sin θ =2πт_о /N т_о ≠ mN (13.35)

где т_о - целое число.

Если разность фаз колебаний от соседних щелей равна

∆φ =2 π т , (13.36)

где т = 0, ±1, ±2,..., то все векторы А, имеют одно направление. При этом модуль их суммы будет максимален и равен

E_m = N E_m1 (13.37)

В тех точках дифракционной картины, где выполняется условие (13.36), будет наблюдаться максимум интенсивности света. При помощи форму­лы (13.33) условию максимумов можно придать вид

(13.38)

sinθ= λm/d

где m = 0, ±1, ±2,... Эта формула определяет направления распростра­нения вторичных волн, при интерференции которых на экране образу­ются светлые полосы. Максимумы интенсивности света, положения ко­торых определяются условием (13.38), называют главными, а число т называют порядком главного максимума.

Таким образом, амплитуда Е_т светового колебания в какой-либо точ­ке Р дифракционной картины зависит от угла θ, под которым идут от дифракционной решетки вторичные волны, собираемые линзой в этой точке графика. Зависимость амплитуды Е_т от sin θ представлена на рис. 13.13 для N = 4 и d/a = 3. Из этого рисунка видно, что ширина главного максимума равна

2λ/(d N).

Если на решетку падает свет, содержащий волны различной длины, то главные максимумы порядка m /=0, соответствующие различным длинам волн, будут смещены друг относительно друга, т.е. решетка, как призма, разлагает свет в спектр. Одной из характеристик решетки как спектрального прибора служит разрешающая способность

R=λ/∆λ (13.39)

где ∆λ - минимальный интервал длин волн, такой, что две спектраль­ные линии, которые соответствуют длинам волн λ и λ + ∆λ , еще могут быть разрешимы, т.е. видны раздельно. Согласно критерию Релея, две близкие спектральные линии считаются разрешенными, когда максимум одной из них совпадает с ближайшим минимумом другой.

Е_m

-2λ/d -λ/d 0 λ/d 2λ/d sinθ

13.13. Дифракция Фраунгофера на решетке

Положение главного максимума в спектре m-го порядка для света с длиной волны λ определяется из условия (13.38). Ближайший к этому максимуму минимум интенсивности для света длины волны λ + ∆λ с учетом условия (13.35) определяется выражением

sinθ =(λ + ∆λ)m/d - ( λ + ∆λ)/(Nd)

В силу критерия Релея выражения (13.38) и (13.40) равны. Из этого ра­венства найдем, что разрешающая способность дифракционной решетки равна произведению порядка спектра

на число щелей:

R=mN. (13.41)