Amp; 6.6. Методи інтегрування частинами та заміною змінних у визначеному інтегралі.

При обчисленні визначеного інтеграла методом заміни змінної визначений інтеграл перетворюється за допомогою підстановки φ(x) = t у визначений інтеграл відносно нової змінної t. При цьому старі межі інтегрування a і замінюють відповідно новими межами інтегрування, які знаходять із підстановки.

Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд:

Приклад 1. Обчисліть визначений інтеграл: .

Розв'язання.

Введемо підстановку: 2х + 1= t. Диференціюючи, маємо: 2dx = dt, звідки . Знаходимо нові межі інтегрування: t_н= 2 ∙ 1 + 1 = 3, t_в = 2 ∙ 2 + 1 = 5. Маємо:

Приклад 2. Обчисліть визначений інтеграл: .

Розв'язання .

Введемо підстановку: . Диференціюючи, маємо . Знаходимо нові межі інтегрування t_н = , t_в = . Маємо:

Приклад 3. Обчисліть визначений інтеграл:

Розв’язання.

Перетворимо підінтегральний вираз:

Введемо підстановку: тоді Знаходимо нові межі:

Підставимо в інтеграл:

Приклад 4. Обчисліть визначений інтеграл:

s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>.</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Розв’язання.

Застосовуємо формулу інтегрування частинами, вважаючи ; Отже