Amp; 6.5. Означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми.

Нехай функція визначена на відрізку . Розіб’ємо відрізок на n частин точками , виберемо на кожному елементарному відрізку довільну точку і позначимо через довжину кожного такого відрізка. Інтегральною сумою для функції на відрізку називається сума вигляду

Визначеним інтегралом від функції на відрізку називається границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля :

Для будь-якої функції , неперервної на відрізку , завжди існує визначений інтеграл .

Наведемо основні властивості визначеного інтеграла.

1⁰. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від функцій, що додаються :

2⁰. Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла :

3⁰. При перестановці меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак на протилежний :

4⁰. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю :

5⁰. Відрізок інтегрування можна розбивати на частини :

Для обчислення визначеного інтеграла від функції в тому випадку, коли можна знайти відповідний невизначений інтеграл , є формула Ньютона – Лейбніца :

тобто визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної при верхній і нижній межах інтегрування.

Приклад 1. Обчисліть інтеграл :

Розв’язання.

За формулою Ньютона – Лейбніца дістанемо :