Описание систем в пространстве состояний

Развитие высококачественных систем управления потребовало разработки новых методов их анализа и синтеза.

Современная теория управления, основу которой заложили известные работы Л.С.Понтрягина, Р.Беллмана и Р.Калмана, базируется на описании систем в пространстве состояний. Описание в пространстве состояний представляет собой общий взгляд на любые системы и пригодно для исследования и проектирования сложных систем с многими входами и выходами, то есть многомерных и многосвязных систем. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.

Понятие состояния является определяющим в современной теории управления.

Под состоянием системы понимается минимально-необходимый набор переменных величин системы x₁,x₂,...,x_n, способных однозначно и единственным образом определить положение системы в любой момент времени t. Совокупность переменных величин x₁,x₂,...,x_n образует n-мерное пространство состояний Rⁿ. Вектор с компонентами x₁,x₂,...,x_n называется вектором состояния.

Рассмотрим систему (рис.10.1) с m входами (u₁,u₂,...,u_m), r выходами (y₁,y₂,..., y_r) и n переменными координатами (x₁,x₂,...,x_n).

Рис. 10.1. Модель системы

Поведение системы во времени можно характеризовать не только выходными величинами, но и промежуточными переменными координатами в цепи системы - переменными состояния x_i, число которых равно порядку системы n. Таким образом, получается n-мерный вектор состояния X, множество возможных положений которого образует векторное пространство, называемое пространством состояний системы Rⁿ. Величина и положение вектора состояния системы с течением времени t изменяются, в результате чего вектор X(t) описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.

В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть определена следующей векторно-матричной формой

, (10.1)

где X - вектор состояния системы, Y - вектор выходных управляемых величин, U - вектор внешних воздействий (задающих и возмущающих), а именно:

, , ;

А, В, С, D - матрицы системы.

Система уравнений (10.1) является стандартным описанием систем управления в пространстве состояний.

Уравнения (10.1) несут большой объем информации о динамических свойствах системы с m входами и r выходами при t₀ £ t £ T.

Первое уравнение из (10.1) определяет динамические характеристики системы и представляет собой компактную запись системы n линейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных первого порядка (нормальная форма Коши)

при i=1,2, ... ,n, (10.2)

где a_ij и b_ij - постоянные коэффициенты.

Второе уравнение из (10.1) является уравнением выхода системы и представляет собой компактную запись системы r линейных алгебраических уравнений

при i=1,2, ... ,r, (10.3)

где c_ij и d_ij - постоянные коэффициенты.

В стандартной форме описания (10.1)

- матрица системы;

- матрица управления;

- матрица наблюдения;

- матрица связи.

Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров, характеризует динамические свойства системы, ее свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (задающим и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием.

Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет систему управления.

Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением.

На рис.10.2 показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи. Следует иметь в виду, что выбор переменных состояния это неоднозначная операция.

Значение начального состояния X(t₀) и входного воздействия U(t) достаточны для того, чтобы однозначно и единственным образом найти выходную величину Y(t) на интервале времени t₀ £ t £ T, т.е. определить значения Y(t) в текущий момент и предсказать поведение ее в будущем.

Таким образом, стандартное описание систем управления в пространстве состояний позволяет однозначно определить выходную величину системы по известному внешнему воздействию и начальному состоянию системы.

Рис. 10.2. Структурная схема системы в векторной форме:

ò - блок интеграторов; A,B,C,D - блоки матричных усилителей

Уравнения переменных состояния представляют собой наиболее полное математическое описание динамики системы с несколькими входами и выходами и позволяют выработать подход для решения различных классов задач теории управления с единых позиций.

Рассмотрим методику составления векторно-матричных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом, передаточная функция которых задается выражением (6.31) (см. Раздел 6). Получение уравнений, описывающих скалярную систему в общем виде, изложено в разделе 6.7. Для перехода к описанию в пространстве состояний переменные x_i в системе уравнений (6.35) и (6.36) можно рассматривать как составляющие вектора состояния X, а задающее воздействие g принять за внешнее u. В этом случае система уравнений (6.35) и (6.36) соответствует стандартной форме описания систем управления в пространстве состояний (10.1). При этом матрицы А, B, C, D имеют следующий вид:

- матрица системы, (10.4)

имеющая такую структуру называется сопровождающей или матрицей Фробениуса;

- матрица управления; (10.5)

- матрица наблюдения; (10.6)

- матрица связи. (10.7)

В реальных системах управления степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, поэтому b_o=0 и ряд коэффициентов b_i оказывается равным нулю. Единица в первом элементе матрицы C соответствует тому, какая из переменных x₁,x₂,...,x_n, попадает на выход. В данном случае с выхода системы снимается одна переменная x₁.