Def: Определителем Грамма, системы векторов {e1, e2, …, ek} называется определитель
Г(e1, e2, …, ek) = 
.
Т°. Для того чтобы система векторов {e1, e2, …, ek} евклидова пространства En была
линейно-зависимой необходимо и достаточно чтобы Г(e1, e2, …, ek) был равен
нулю.
◀ Необходимость. Пусть e1, e2, …, ek линейно зависимы. Тогда ek = a1e1 + a2e2 +…+ ek–1ak–1 и в Г(e1, e2, …, ek) элементы последней строки имеют вид a1(e1,ei) + a2(e2,ei) + …+ ak–1(ek–1,ei), т.е. последняя строка есть линейная комбинация остальных Þ Г(e1, e2, …, ek) = 0.
Достаточность. Пусть Г(e1, e2, …, ek) = 0 Þ строки его линейно зависимы Þ $b1, b2, …, bk b1(e1,ei) + … + bk(ek,ei) = 0 Þ (b1e1 + … + bkek = 0 и не все bi = 0 Þ e1, e2, …, ek линейно зависимы. Противоречие ▶
Следствие. Если e1, e2, …, ek линейно независимы, то Г(e1, e2, …, ek) ¹ 0. Более того, Г(e1, e2, …, ek) > 0
◀ Рассматриваем ℒ(e1, e2, …, ek). Тогда (ek,ei) – элементы матрицы некоторой симметрической билинейной формы, соответствующая которой квадратичная форма определяет скалярное произведение, т.е. является положительно определенной. Следовательно, по критерию Сильвестра D1 > 0, D2 > 0, …, Dk > 0. Но Dk = Г(e1, e2, …, ek) ▶
§2. Взаимные базисы.
Ковариантные и контравариантные координаты векторов
Пусть En – евклидово пространство, пусть {e1, e2, …, en }базис в En и {e1, e2, …, en}другой базис в En. Базисы {ei} 
и {ei} называются взаимными, если (ei, ej) = 
= 
.
символ
Кронекера-Капелли.
Т°. Любой базис {ei} из En имеет единственный взаимный базис.
◀ Пусть ej = 
e1 + 
e2 + … + 
en. Умножим равенство скалярно на ei.
(ei, ej) = (ei, e1) + (ei, e2) + … + (ei, en) = , i, j = 1, 2, …, n.
Имеем неоднородную систему n-линейных уравнений с n неизвестными 
, Определитель этой системы есть Г(e1, e2, …, en) ¹ 0, т.е. система имеет единственное ненулевое решение.
Следовательно векторы ej определяются однозначно. Убедимся в том, что они образуют базис (т. е. являются линейно независимыми).
Пусть a1e1 + a1e2 + …+ anen = 0. Умножим скалярно на ei.
a1(ei, e1) + a2(ei, e2) + … + an(ei, en) = 0 Þ ai = 0, i, j = 1, 2, …, n ▶
Замечание: если базис {ei} ортонормированный, то его взаимный базис совпадает с данным базисом.
Пусть {ei} и {ej} взаимные базисы в Еn.
Тогда "хÎЕn 
(1)
(x1, x2, …, xn) называются ковариантными координатами вектора x.
(x1, x2, …, xn) называются контравариантными координатами вектора x.
Смысл названий мы поясним далее.
Соглашение: Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов (верхних и нижних). При этом договариваются, что все нижние индексы обозначаются разными символами (аналогично верхние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой – нижний, то считается, что по таким индексам производится суммирование от 1 до n.
Например: 
.
Используя, это соглашение формула (1) записывается так: x = xiei, x = xiei, (индекс суммирования может быть обозначен любым символом, результат не изменится – и часто называется «немым» (иногда «глухим») индексом).
Пусть x = xiei. Умножив на ej, получим (x,ej) = xi(ei,ej) = xi = xj. Аналогично x = xiei умножим на ej и получим (x,ej) = xi(ei,ej) = xi = xj. Т.е. получили формулы:
эти формулы называются формулами Гиббса.
Тогда используя формулы Гиббса, запишем: ej = (ej,ei)ei и ej = (ej,ei)ei и обозначив gji = (ej,ei) , gji = (ej,ei) получим ej = gjiei; ej = gjiei.
 |
Т.е. для получения взаимного базиса {ej}по базису {ei} достаточно знать матрицу gji = (ej,ei) и наоборот: для получения базиса {ej} по базису {ei} достаточно знать матрицу gji = (ej,ei) . (Точнее их обратные матрицы).
Т°. Матрицы gji и gji – взаимнообратные.
◀ Соотношение ei = gjiej умножим на ek : 
= (ei,ek) = gji(ej,ek) = gjigjk Þ gjigjk = , т.е. произведение матриц (gji) и (gji) есть единичная матрица ▶
Задача 1. По заданному базису {ei} (нижнему) построить ему взаимный базис {ei} (верхний), по заданному верхнему базису построить взаимный нижний.
◀ а) Чтобы построить базис взаимный к нижнему надо найти матрицу GH = (gik) = (ei, ek), обратить матрицу, получив (GH)–1 и подействовать этой матрицей на матрицу FH, строками которой являются векторы нижнего базиса. После перемножения получится матрица FB, строками которой являются векторы верхнего базиса.
б) Чтобы построить базис взаимный к верхнему надо найти матрицу GВ = (gik) = (ei, ek), обратить ее, получив (GВ)–1 и подействовать этой матрицей на матрицу FB, строками которой являются векторы верхнего базиса. После перемножения получится матрица FH,
строками которой, являются векторы нижнего базиса.
в) именно так трактуются формулы: ei = gijei = (gij)–1ei; ei = gijei = (gij)–1ei ▶
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 3466;