Характеры

Пусть D(G) – n-мерное представление группы G, и D_ij(g) – матрица оператора, отвечающего gÎG.

Характером элемента gÎG в представлении D(G) называется число c(g) = D_ij(g) = = D₁₁(g) + D₂₂(g) + …+ D_nn(g), т.е. характером элемента gÎG является след оператора D(G). Отсюда ясно, что характер любого элемента не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом.

Итак: любому gÎG представления D(G) отвечает число – характер этого элемента.

Вопрос: каким элементам группы отвечают одинаковые характеры?

Def: Элемент bÎG называется сопряженным к элементу aÎG, если $uÎG такой, что uau^–1 = b.

Для сопряженных элементов выполнено:

1°. а сопряжен самому себе. ◀ еае^–1 = а ▶

2°. Если b сопряжен к а, и с сопряжен к b, то с сопряжен к а.

◀ uau^–1 = b Þ u^–1uau^–1u = u^–1bu Þ а = u^–1bu Þ а = vbv^–1 ▶

3°. Если b сопряжен к а, и с сопряжен к b , то с сопряжен к а.

◀ uau^–1 = b, vbv^–1 = c Þ c = v(uau^–1)v^–1 = (vu)a(u^–1v^–1) = = (vu)a(vu)^–1 = waw^–1 ▶

Все элементы группы разобьем на классы взаимно-сопряженных элементов. Два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Тº. Характеры элементов принадлежащих к одному и тому же классу сопряженных элементов равны друг другу. Доказать самостоятельно.

Тº. Характеры элементов для эквивалентных представлений совпадают. Доказать самостоятельно.

Пусть G разбита на классы сопряженности k₁, k₂, …, k_v. Тогда каждому k_i можно поставить в соответствие число c_i – характер элементов k_i в представлении D(G).

Тогда представление D(G) может быть описано с помощью набора характеров c₁, c₂, …, c_v, который можно рассматривать, как координаты вектора в евклидовом пространстве Е^v. При этом различным представлениям соответствуют, вообще говоря, различные векторы.

Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представления групп.