Примеры представлений групп

Рассмотрим группу G – группу симметрий трехмерного пространства, состоящего из трех элементов: I – тождественное преобразование и Р – отражение пространства относительно начала координат.

Т.е. G = {I, P}. При этом умножение элементов задано таблицей:

1) Одномерное представление группы G.

Пусть Е¹ – пространство представлений и е₁ – базис. Пусть линейный невырожденный оператор А⁽¹⁾ в этом базисе имеет матрицу А⁽¹⁾ = (1). Очевидно, это преобразование образует подгруппу в группе GL(1) причем умножение в этой подгруппе задается по правилу:

Мы получили одномерное представление D⁽¹⁾(G) группы G

D⁽¹⁾(I) = А⁽¹⁾; D⁽¹⁾(P) = А⁽¹⁾;

2) Двумерное представление группы G. Выберем в Е² базис {е₁, е₂} и рассмотрим в этом базисе матрицы преобразований: операции задаются таблицей:

Получим двумерное представление группы G с помощью соотношений: D⁽²⁾(I) = А⁽²⁾; D⁽²⁾(P)= В⁽²⁾;

Этими соотношениями определяется изоморфизм группы G на подгруппу {A⁽²⁾; B⁽²⁾} группы GL(2), т.е. это точное представление группы G.

1) Трехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е³ в базисе {е₁, е₂, е₃} линейное преобразование А⁽³⁾ с матрицей А⁽³⁾ = и законом умножения: А⁽³⁾×А⁽³⁾ = А⁽³⁾. Получаем трехмерное представление D⁽³⁾(G) с помощью соотношений:

D ⁽³⁾(I) = А⁽³⁾; D⁽³⁾(P) = А⁽³⁾.

4) Четырехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е⁴ линейные преобразования А⁽⁴⁾ и В⁽⁴⁾ с матрицами: . Преобразования А⁽⁴⁾ и В⁽⁴⁾ образуют подгруппу в GL(4) с законом умножения, аналогичным примеру 2, соотношениями: D⁽⁴⁾(I) = А⁽⁴⁾, D⁽⁴⁾(P) = В⁽⁴⁾.

Заметив, что А⁽⁴⁾ и В⁽⁴⁾ можно записать в виде ,

можно записать (условно): D⁽⁴⁾(G) = D⁽²⁾(G) + D⁽²⁾(G) = 2D⁽²⁾(G).

Аналогично можно условно записать D⁽³⁾(G) = 3D⁽³⁾(G).

Используя это замечание можно без труда построить представление группы G любой конечной размерности.