Приводимые и неприводимые представления

Def: Подпространство Е¢ называется инвариантным для представления D(G), если оно инвариантно для всякого оператора из D(G).

Очевидно, что на инвариантном подпространстве Е¢ представления D(G) индуцируется некоторое представление , которое, вообще говоря, не сводится к D(G) если Е¢ ¹ Еⁿ.

Представление называется частью представления D(G).

Поясним теперь понятие представления.

Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления D(G) имеют вид . Нетрудно проверить, что при умножении матриц такого типа их структура сохраняется, причем и (т.е. части А₁ и А₃ перемножаются автономно).

Отсюда следует, что А₁ есть двумерное представление группы G, а А₃ есть одномерное представление этой же группы.

В таких случаях говорят, что представление D(G) приводимо.

Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах ) имеют вид , где А₁ и А₂ квадратные матрицы порядков n₁ и n₂ , то матрицы А₁ и А₂ образуют представления, сумма размерностей которых n₁ + n₂ = n.

В этом случае представление называют вполне приводимым.

И в заключение: Представления D(G) называется неприводимым, если у этого представления существуют лишь два инвариантных подпространства: Еⁿ и {θ}.

Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые.