Группы линейных преобразований

1°. Рассмотрим множество невырожденных линейных операторов (преобразований), действующих из Vn в Vn. Если определить произведение линейных операторов по правилу (AB)x = A(Bx), то:

Тº. Множество GL(n) невырожденных линейных преобразований линейного n-мерного пространства V с операцией умножения операторов введенной,как (АВ)х = А(Вх) представляет собой группу.

Эта группа называется группой линейных невырожденных преобразований линейного пространства Vn и обозначается: GL(n).

2°. Короткое воспоминание: Линейный оператор Р в евклидовом пространстве называется ортогональным, если "x, yÎV (евклидово пространство) (Px, Py) = (x, y).

Условие ортогональности оператора: Оператор Р2 ортогонален тогда и только тогда когда существует Р-1 и Р-1 = Р*.

Тº. Множество всех ортогональных операторов евклидового пространства Vn с

обычной операцией умножения линейных операторов образует группу.

Эта группа называется ортогональной группой и обозначается О(n).

◀ Пусть Р1 и Р2 – ортогональные операторы. Докажем, что Р1Р2 тоже ортогональный оператор (Р1Р2x, Р1Р2x) (Р2x, Р2x) (x, y) ▶

3°. Еще воспоминание: Если оператор Р ортогонален, то detP = ±1. Поэтому все ортогональные операторы Р делятся на два класса:

а) Р для которых detP = 1 (эти преобразования называются собственными)

б) Р для которых detP = -1 (эти преобразования называются несобственными)

Тº. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, которая называется собственной ортогональной группой и обозначается SO(n).

4°. O(n) есть подгруппа GL(n); SO(n) есть подгруппа О(n).

 

5°. В комплексном линейном пространстве также можно рассмотреть группу линейных преобразований. Если в комплексном пространстве со скалярным произведением (унитарное пространство) рассмотреть множество линейных операторов, сохраняющих скалярное произведение: (Ux, Uy) = (x, y) (такие операторы называются унитарными), то окажется, что унитарные операторы образуют группу. Эта группа называется унитарной группой, обозначается Un и является аналогом ортогональной группы в унитарном пространстве.








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1002;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.