Две теоремы о гомоморфизмах

Тº. Пусть f – гомоморфизм группы G на и пусть Н – множество тех элементов группы G, которые при гомоморфизме f отображаются в элемент f(e), где е – единица группы G. Тогда Н нормальный делитель группы G.

◀ Достаточно доказать, что Н – подгруппа и, что левые смежные классы есть одновременно и правые смежные классы.

1) aÎH, bÎH Þ f(ab) = f(a)f(b) =

= f(e)f(e) = f(ee) = f(e), т.е. abÎH;

aÎH Þ f(a^–1) = f(a^–1e) = f(a^–1) f(e) = f(a^–1)f(a) = f(a^–1a) = f(e), т.е. a^–1ÎH. Тогда Н – подгруппа группы G.

2) aÎG и пусть A = {xÎG½f(x) = f(a)}. Докажем, что А – это одновременно и левый и правый смежные классы.

Пусть a¢ÎA. Рассмотрим уравнение ax = a¢: f(a¢) = f(ax) = f(a)×f(x) = f(a¢)f(x), отсюда f(x) = = f(e) Þ xÎH; Т.к. = a¢ Þ a¢ÎaH.

Пусть a¢ÎA. Рассмотрим уравнение xa= a¢: f(a¢) = f(xa) = f(x)×f(a) = f(x)f(a¢) ), отсюда f(x) = = f(e) Þ xÎH; Т.к. = a¢ Þ a¢ÎHa.

Получили А = аН = На ▶

Тº. Пусть f – гомоморфизм группы G на и Н – тот нормальный делитель группы

G , элементaм которого при гомоморфизме f соответствует . Тогда группа

и фактор-группа G/H изоморфны.

◀ Установим взаимно-однозначное соответствие между и G/H.

смежный класс, который с помощью f отображается в .

Это отображение взаимно – однозначно, ибо смежные классы не пересекаются. Если умножение классов производить как умножение подмножеств, то станет ясно, что это ото-

бражение есть изоморфизм. Но классы смежности и есть элементы фактор-группы. ▶