Преобразование Лапласа (прямое и обратное) и его основные теоремы. Примеры.

Преобразования Лапласа играют очень важную роль при исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями. С помощью прямого преобразования Лапласа можно перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим, решить их в алгебраической форме, а затем с помощью обратного преобразования получить искомый результат.

Прямое преобразование Лапласа осуществляется по формуле:

, (1)

где - комплексная переменная.

На функцию x(t) накладываются некоторые ограничения. Иногда для простоты пользуются символической записью выражения (1) в виде:

,

где L - оператор прямого преобразования Лапласа.

Функция x(t) называется оригиналом, а Х(р) - изображением.

Кроме прямого существует также и обратное преобразование Лапласа, определяемое по формуле:

, (2)

где интеграл берется на комплексной плоскости р вдоль любой прямой . Символически операцию обратного преобразования Лапласа по (2) записывают в виде:

.

Обратное преобразование Лапласа можно определить по (2.2), из табл. 2.1, а также с помощью теоремы вычетов, из которой следует соотношение:

где Res_i - вычеты подынтегральной функции

n - число полюсов функции где она обращается в бесконечность.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле:

а вычет в полюсе кратности k:

Укажем основные свойства преобразования Лапласа, широко используемые на практике.

1. Линейность оригиналов и изображений

Если у(t) = a₁х₁(t) + a₂х₂(t) + . . .,

то У(р) = а₁Х₁(р) + а₂Х₂(р) + . . . .

2. Дифференцирование оригинала

Если , то .

3. Интегрирование оригинала

Если то .

4. Задержка во времени оригинала

Если , то

5. Свертка оригинала

Если , то У(р) = Х₁(р) Х₂(р) .

Это свойство гласит: свертке оригиналов соответствует произведение изображений.

6. Изменение масштаба времени оригинала

Если у(t) = x(at) , a>0, то .

7. Смещение изображения

Если У(р) = Х(р+а) , то .

8. Умножение оригинала на время n раз

Если то .

9. Деление оригинала на время

Если , то .

10. Предельное значение оригинала